We consider the sum $\sum 1/\gamma $ , where $\gamma $ ranges over the ordinates of nontrivial zeros of the Riemann zeta-function in an interval $(0,T]$ , and examine its behaviour as $T \to \infty $ . We show that, after subtracting a smooth approximation $({1}/{4\pi }) \log ^2(T/2\pi ),$ the sum tends to a limit $H \approx -0.0171594$ , which can be expressed as an integral. We calculate H to high accuracy, using a method which has error $O((\log T)/T^2)$ . Our results improve on earlier results by Hassani [‘Explicit approximation of the sums over the imaginary part of the non-trivial zeros of the Riemann zeta function’, Appl. Math. E-Notes16 (2016), 109–116] and other authors.

中文翻译：

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黎曼 zeta 函数非平凡零的谐波和

我们考虑总和 $\sum 1/\伽马$ ， 在哪里 $\伽马$ 范围在区间内的黎曼 zeta 函数的非平凡零点的纵坐标上 $(0,T]$ ，并检查其行为为 $T \to \infty $ . 我们证明，在减去平滑近似后 $({1}/{4\pi }) \log ^2(T/2\pi ),$ 总和趋于极限 $H \约 -0.0171594$ , 可以表示为积分。我们计算H高精度，使用有误差的方法 $O((\log T)/T^2)$ . 我们的结果改进了 Hassani 的早期结果 ['在黎曼 zeta 函数的非平凡零点的虚部上的和的显式近似'，应用程序。数学。电子笔记16(2016), 109–116] 和其他作者。