Given a complex germ $f$ near the point $\mathfrak{x}$ of the complex manifold $X$, equipped with a factorization $f = f_{1} \cdots f_{r}$, we consider the $\mathscr{D}_{X,\mathfrak{x}}[s_{1}, \dots, s_{r}]$-module generated by $ F^{S} := f_{1}^{s_{1}} \cdots f_{r}^{s_{r}}$. We show for a large class of germs that the annihilator of $F^{S}$ is generated by derivations and this property does not depend on the chosen factorization of $f$. We further study the relationship between the Bernstein-Sato variety attached to $F$ and the cohomology support loci of $f$, via the $\mathscr{D}_{X,\mathfrak{x}}$-map $\nabla_{A}$. This is related to multiplication by $f$ on certain quotient modules. We show that for our class of divisors the injectivity of $\nabla_{A}$ implies its surjectivity. Restricting to reduced, free divisors, we also show the reverse, using the theory of Lie-Rinehart algebras. In particular, we analyze the dual of $\nabla_{A}$ using techniques pioneered by Narvaez-Macarro. As an application of our results we establish a conjecture of Budur in the tame case: if $\text{V}(f)$ is a central, essential, indecomposable, and tame hyperplane arrangement, then the Bernstein-Sato variety associated to $F$ contains a certain hyperplane. By the work of Budur, this verifies the Topological Mulivariable Strong Monodromy Conjecture for tame arrangements. Finally, in the reduced and free case, we characterize local systems outside the cohomology support loci of $f$ near $\mathfrak{x}$ in terms of the simplicity of modules derived from $F^{S}.$

中文翻译：

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Bernstein-Sato 变种和权力的湮灭

给定复杂流形 $X$ 的点 $\mathfrak{x}$ 附近的复杂细菌 $f$，配备了因式分解 $f = f_{1} \cdots f_{r}$，我们考虑 $\mathscr {D}_{X,\mathfrak{x}}[s_{1}, \dots, s_{r}]$-模块由 $ F^{S} 生成：= f_{1}^{s_{1} \cdots f_{r}^{s_{r}}$。我们为一大类细菌证明了 $F^{S}$ 的歼灭器是通过推导生成的，并且此属性不依赖于所选的 $f$ 分解。我们通过 $\mathscr{D}_{X,\mathfrak{x}}$-map $\nabla_ 进一步研究了附加到 $F$ 的 Bernstein-Sato 变体与 $f$ 的上同调支持位点之间的关系{A}$。这与在某些商模块上乘以 $f$ 相关。我们证明，对于我们的除数类，$\nabla_{A}$ 的注入性意味着它的满射性。限制为减少的自由除数，我们也显示相反，使用 Lie-Rinehart 代数理论。特别是，我们使用 Narvaez-Macarro 首创的技术分析了 $\nabla_{A}$ 的对偶。作为我们结果的应用，我们在驯服的情况下建立了 Budur 的猜想：如果 $\text{V}(f)$ 是一个中心的、本质的、不可分解的和驯服的超平面排列，那么与 $ 相关的 Bernstein-Sato 变体F$ 包含某个超平面。通过 Budur 的工作，这验证了驯服安排的拓扑多变量强单性猜想。最后，在简化和自由的情况下，我们根据从 $F^{S}.$ 派生的模块的简单性来表征 $f$ 附近 $\mathfrak{x}$ 的上同调支持位点之外的局部系统 作为我们结果的应用，我们在驯服情况下建立了 Budur 猜想：如果 $\text{V}(f)$ 是一个中心的、本质的、不可分解的和驯服的超平面排列，那么与 $ 相关的 Bernstein-Sato 变体F$ 包含某个超平面。通过 Budur 的工作，这验证了驯服安排的拓扑多变量强单性猜想。最后，在简化和自由的情况下，我们根据从 $F^{S}.$ 派生的模块的简单性来表征 $f$ 附近 $\mathfrak{x}$ 的上同调支持位点之外的局部系统 作为我们结果的应用，我们在驯服的情况下建立了 Budur 的猜想：如果 $\text{V}(f)$ 是一个中心的、本质的、不可分解的和驯服的超平面排列，那么与 $ 相关的 Bernstein-Sato 变体F$ 包含某个超平面。通过 Budur 的工作，这验证了驯服安排的拓扑多变量强单性猜想。最后，在简化和自由的情况下，我们根据从 $F^{S}.$ 派生的模块的简单性来表征 $f$ 附近 $\mathfrak{x}$ 的上同调支持位点之外的局部系统 这验证了驯服安排的拓扑多变量强单性猜想。最后，在简化和自由的情况下，我们根据从 $F^{S}.$ 派生的模块的简单性来表征 $f$ 附近 $\mathfrak{x}$ 的上同调支持位点之外的局部系统 这验证了驯服安排的拓扑多变量强单性猜想。最后，在简化和自由的情况下，我们根据从 $F^{S}.$ 派生的模块的简单性来表征 $f$ 附近 $\mathfrak{x}$ 的上同调支持位点之外的局部系统