Let $\mu$ be a probability measure on $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ that is ergodic under the $\times p$ map, with positive entropy. In 1995, Host showed that if $\gcd(m,p)=1$ then $\mu$ almost every point is normal in base $m$. In 2001, Lindenstrauss showed that the conclusion holds under the weaker assumption that $p$ does not divide any power of $m$. In 2015, Hochman and Shmerkin showed that this holds in the "correct" generality, i.e. if $m$ and $p$ are independent. We prove a simultaneous version of this result: for $\mu$ typical $x$, if $m>p$ are independent, we show that the orbit of $(x,x)$ under $(\times m, \times p)$ equidistributes for the product of the Lebesgue measure with $\mu$. We also show that if $m>n>1$ and $n$ is independent of $p$ as well, then the orbit of $(x,x)$ under $(\times m, \times n)$ equidistributes for the Lebesgue measure.

中文翻译：

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Host 等分布定理的同步版本

令 $\mu$ 是 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 上的概率测度，它在 $\times p$ 映射下是遍历的，具有正熵。1995 年，Host 表明如果 $\gcd(m,p)=1$ 则 $\mu$ 几乎每个点在 $m$ 的基础上都是正常的。2001 年，Lindenstrauss 表明，在 $p$ 不除以 $m$ 的任何幂的较弱假设下，该结论成立。2015 年，Hochman 和 Shmerkin 表明这在“正确”一般性中成立，即如果 $m$ 和 $p$ 是独立的。我们证明了这个结果的同步版本：对于 $\mu$ 典型的 $x$，如果 $m>p$ 是独立的，我们证明 $(x,x)$ 在 $(\times m, \times p)$ 对勒贝格测度的乘积与 $\mu$ 等分。我们还表明，如果 $m>n>1$ 并且 $n$ 也独立于 $p$，那么 $(x,x)$ 在 $(\times m,