In this paper, we establish a necessary and sufficient criterion for a finite metabelian 2-group G whose abelianized $$G^{ab}$$ is of type $$(2, 2^m)$$ , with $$m\ge 2$$ , to be metacyclic. This criterion is based on the rank of the maximal subgroup of G which contains the three normal subgroups of G of index 4. Then, we apply this result to study the structure of the Galois group of the maximal unramified pro-2-extension of the cyclotomic $$\mathbb {Z}_2$$ -extension of certain number fields. Illustration is given by some real quadratic fields.

中文翻译：

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关于某些分圆 $$\mathbb {Z}_2$$-extensions 的最大未分支 pro-2-extension

在本文中，我们建立了一个有限元贝尔 2 群 G 的充分必要条件，其 abelianized $$G^{ab}$$ 的类型为 $$(2, 2^m)$$ ，其中 $$m\ ge 2$$ ，为元循环。该标准基于 G 的最大子群的秩，该子群包含指数 4 的 G 的三个正规子群。然后，我们应用这个结果来研究最大非分枝 pro-2-extension 的 Galois 群的结构cyclotomic $$\mathbb {Z}_2$$ - 某些数字字段的扩展。一些真实的二次场给出了说明。