We generalize the celebrated isoperimetric inequality of Khot, Minzer, and Safra~(SICOMP 2018) for Boolean functions to the case of real-valued functions $f \colon \{0,1\}^d\to\mathbb{R}$. Our main tool in the proof of the generalized inequality is a new Boolean decomposition that represents every real-valued function $f$ over an arbitrary partially ordered domain as a collection of Boolean functions over the same domain, roughly capturing the distance of $f$ to monotonicity and the structure of violations of $f$ to monotonicity. We apply our generalized isoperimetric inequality to improve algorithms for testing monotonicity and approximating the distance to monotonicity for real-valued functions. Our tester for monotonicity has query complexity $\widetilde{O}(\min(r \sqrt{d},d))$, where $r$ is the size of the image of the input function. (The best previously known tester, by Chakrabarty and Seshadhri (STOC 2013), makes $O(d)$ queries.) Our tester is nonadaptive and has 1-sided error. We show a matching lower bound for nonadaptive, 1-sided error testers for monotonicity. We also show that the distance to monotonicity of real-valued functions that are $\alpha$-far from monotone can be approximated nonadaptively within a factor of $O(\sqrt{d\log d})$ with query complexity polynomial in $1/\alpha$ and the dimension $d$. This query complexity is known to be nearly optimal for nonadaptive algorithms even for the special case of Boolean functions. (The best previously known distance approximation algorithm for real-valued functions, by Fattal and Ron (TALG 2010) achieves $O(d\log r)$-approximation.)

中文翻译：

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实值函数的等周不等式在单调性测试中的应用

我们将著名的 Khot、Minzer 和 Safra~(SICOMP 2018) 的等周不等式推广到布尔函数的实值函数 $f \colon \{0,1\}^d\to\mathbb{R}$ . 我们证明广义不等式的主要工具是一个新的布尔分解，它将任意偏序域上的每个实值函数 $f$ 表示为同一域上布尔函数的集合，大致捕获 $f$ 的距离单调性和违反 $f$ 单调性的结构。我们应用我们的广义等周不等式来改进用于测试单调性和逼近实值函数单调性距离的算法。我们的单调性测试器具有查询复杂度 $\widetilde{O}(\min(r \sqrt{d},d))$，其中 $r$ 是输入函数图像的大小。（之前最著名的测试器，由 Chakrabarty 和 Seshadhri (STOC 2013) 编写，进行 $O(d)$ 查询。）我们的测试器是非自适应的，并且存在单边错误。我们展示了非自适应单边误差测试器的匹配下限。我们还表明，与单调 $\alpha$-far 的实值函数到单调性的距离可以在 $O(\sqrt{d\log d})$ 的因子内非自适应地近似，查询复杂度多项式为 $1 /\alpha$ 和维度 $d$。众所周知，即使对于布尔函数的特殊情况，这种查询复杂性对于非自适应算法也几乎是最佳的。（由 Fattal 和 Ron (TALG 2010) 提出的用于实值函数的最佳距离近似算法实现了 $O(d\log r)$-approximation。）进行 $O(d)$ 查询。）我们的测试器是非自适应的并且有单边错误。我们展示了非自适应单边误差测试器的匹配下限。我们还表明，与单调 $\alpha$-far 的实值函数到单调性的距离可以在 $O(\sqrt{d\log d})$ 的因子内非自适应地近似，查询复杂度多项式为 $1 /\alpha$ 和维度 $d$。众所周知，即使对于布尔函数的特殊情况，这种查询复杂性对于非自适应算法也几乎是最佳的。（由 Fattal 和 Ron (TALG 2010) 提出的用于实值函数的最佳距离近似算法实现了 $O(d\log r)$-approximation。）进行 $O(d)$ 查询。）我们的测试器是非自适应的并且有单边错误。我们展示了非自适应单边误差测试器的匹配下限。我们还表明，与单调 $\alpha$-far 的实值函数到单调性的距离可以在 $O(\sqrt{d\log d})$ 的因子内非自适应地近似，查询复杂度多项式为 $1 /\alpha$ 和维度 $d$。众所周知，即使对于布尔函数的特殊情况，这种查询复杂性对于非自适应算法也几乎是最佳的。（由 Fattal 和 Ron (TALG 2010) 提出的用于实值函数的最佳距离近似算法实现了 $O(d\log r)$-approximation。）我们还表明，与单调 $\alpha$-far 的实值函数到单调性的距离可以在 $O(\sqrt{d\log d})$ 的因子内非自适应地近似，查询复杂度多项式为 $1 /\alpha$ 和维度 $d$。众所周知，即使对于布尔函数的特殊情况，这种查询复杂性对于非自适应算法也几乎是最佳的。（由 Fattal 和 Ron (TALG 2010) 提出的用于实值函数的最佳距离近似算法实现了 $O(d\log r)$-approximation。）我们还表明，与单调 $\alpha$-far 的实值函数到单调性的距离可以在 $O(\sqrt{d\log d})$ 的因子内非自适应地近似，查询复杂度多项式为 $1 /\alpha$ 和维度 $d$。众所周知，即使对于布尔函数的特殊情况，这种查询复杂性对于非自适应算法也几乎是最佳的。（由 Fattal 和 Ron (TALG 2010) 提出的用于实值函数的最佳距离近似算法实现了 $O(d\log r)$-approximation。）众所周知，即使对于布尔函数的特殊情况，这种查询复杂性对于非自适应算法也几乎是最佳的。（由 Fattal 和 Ron (TALG 2010) 提出的用于实值函数的最佳距离近似算法实现了 $O(d\log r)$-approximation。）众所周知，即使对于布尔函数的特殊情况，这种查询复杂性对于非自适应算法也几乎是最佳的。（由 Fattal 和 Ron (TALG 2010) 提出的用于实值函数的最佳距离近似算法实现了 $O(d\log r)$-approximation。）