In this note, we study the ill-posedness of nonlinear wave equations (NLW). Namely, we show that NLW experiences norm inflation at every initial data in negative Sobolev spaces. This result covers a gap left open in a paper of Christ, Colliander, and Tao (2003) and extends the result by Oh, Tzvetkov, and the second author (2019) to non-cubic integer nonlinearities. In particular, for some low dimensional cases, we obtain norm inflation above the scaling critical regularity. We also prove ill-posedness for NLW, via norm inflation at general initial data, in negative regularity Fourier-Lebesgue and Fourier-amalgam spaces.

中文翻译：

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关于非线性波动方程范数膨胀的评注

在本笔记中，我们研究非线性波动方程 (NLW) 的不适定性。也就是说，我们表明 NLW 在负 Sobolev 空间中的每个初始数据都经历了规范膨胀。该结果涵盖了 Christ、Colliander 和 Tao（2003 年）的论文中留下的空白，并将 Oh、Tzvetkov 和第二作者（2019 年）的结果扩展到非三次整数非线性。特别是，对于一些低维的情况，我们获得了高于标度临界规律的范数膨胀。我们还证明了 NLW 的不适定性，通过一般初始数据的范数膨胀，在负正则傅立叶-勒贝格和傅立叶-汞合金空间中。