Motivated by applications in gerrymandering detection, we study a reconfiguration problem on connected partitions of a connected graph $G$. A partition of $V(G)$ is \emph{connected} if every part induces a connected subgraph. In many applications, it is desirable to obtain parts of roughly the same size, possibly with some slack $s$. A \emph{Balanced Connected $k$-Partition with slack $s$}, denoted \emph{$(k,s)$-BCP}, is a partition of $V(G)$ into $k$ nonempty subsets, of sizes $n_1,\ldots , n_k$ with $|n_i-n/k|\leq s$, each of which induces a connected subgraph (when $s=0$, the $k$ parts are perfectly balanced, and we call it \emph{$k$-BCP} for short). A \emph{recombination} is an operation that takes a $(k,s)$-BCP of a graph $G$ and produces another by merging two adjacent subgraphs and repartitioning them. Given two $k$-BCPs, $A$ and $B$, of $G$ and a slack $s\geq 0$, we wish to determine whether there exists a sequence of recombinations that transform $A$ into $B$ via $(k,s)$-BCPs. We obtain four results related to this problem: (1) When $s$ is unbounded, the transformation is always possible using at most $6(k-1)$ recombinations. (2) If $G$ is Hamiltonian, the transformation is possible using $O(kn)$ recombinations for any $s \ge n/k$, and (3) we provide negative instances for $s \leq n/(3k)$. (4) We show that the problem is PSPACE-complete when $k \in O(n^{\varepsilon})$ and $s \in O(n^{1-\varepsilon})$, for any constant $0 < \varepsilon \le 1$, even for restricted settings such as when $G$ is an edge-maximal planar graph or when $k=3$ and $G$ is planar.

中文翻译：

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通过重组重新配置连通图分区

受 gerrymandering 检测应用的启发，我们研究了连接图 $G$ 的连接分区上的重新配置问题。如果每个部分都包含一个连通子图，则 $V(G)$ 的分区是 \emph{connected}。在许多应用程序中，希望获得大致相同大小的零件，可能还有一些松弛的 $s$。\emph{Balanced Connected $k$-Partition with slack $s$}，表示为 \emph{$(k,s)$-BCP}，是将 $V(G)$ 划分为 $k$ 非空子集，大小为 $n_1,\ldots , n_k$ 和 $|n_i-n/k|\leq s$，每个都产生一个连通子图（当 $s=0$ 时，$k$ 部分是完美平衡的，我们简称\emph{$k$-BCP}）。\emph{recombination} 是一种操作，它采用图 $G$ 的 $(k,s)$-BCP，并通过合并两个相邻的子图并重新划分它们来产生另一个。给定两个 $k$-BCP，$A$ 和 $B$，$G$ 和松弛的 $s\geq 0$，我们希望确定是否存在通过 $(k,s)$-BCPs 将 $A$ 转换为 $B$ 的重组序列。我们获得了与这个问题相关的四个结果：（1）当 $s$ 是无界的时，转换总是可以使用最多 $6(k-1)$ 重组。(2) 如果 $G$ 是哈密顿量，则可以对任何 $s \ge n/k$ 使用 $O(kn)$ 重组进行转换，并且 (3) 我们为 $s \leq n/(3k )$。(4) 我们证明当 $k \in O(n^{\varepsilon})$ 和 $s \in O(n^{1-\varepsilon})$ 时，问题是 PSPACE 完全的，对于任何常数 $0 < \varepsilon \le 1$，即使对于受限设置，例如当 $G$ 是边极大平面图或 $k=3$ 且 $G$ 是平面时。我们希望确定是否存在通过 $(k,s)$-BCP 将 $A$ 转换为 $B$ 的重组序列。我们得到了与这个问题相关的四个结果：（1）当 $s$ 是无界的时，转换总是可以使用最多 $6(k-1)$ 重组。(2) 如果 $G$ 是哈密顿量，则可以对任何 $s \ge n/k$ 使用 $O(kn)$ 重组进行转换，并且 (3) 我们为 $s \leq n/(3k )$。(4) 我们证明当 $k \in O(n^{\varepsilon})$ 和 $s \in O(n^{1-\varepsilon})$ 时，问题是 PSPACE 完全的，对于任何常数 $0 < \varepsilon \le 1$，即使对于受限设置，例如当 $G$ 是边极大平面图或 $k=3$ 且 $G$ 是平面时。我们希望确定是否存在通过 $(k,s)$-BCP 将 $A$ 转换为 $B$ 的重组序列。我们获得了与这个问题相关的四个结果：（1）当 $s$ 是无界的时，转换总是可以使用最多 $6(k-1)$ 重组。(2) 如果 $G$ 是哈密顿量，则可以对任何 $s \ge n/k$ 使用 $O(kn)$ 重组进行转换，并且 (3) 我们为 $s \leq n/(3k )$。(4) 我们证明当 $k \in O(n^{\varepsilon})$ 和 $s \in O(n^{1-\varepsilon})$ 时，问题是 PSPACE 完全的，对于任何常数 $0 < \varepsilon \le 1$，即使对于受限设置，例如当 $G$ 是边极大平面图或 $k=3$ 且 $G$ 是平面时。使用最多 $6(k-1)$ 重组总是可能的。(2) 如果 $G$ 是哈密顿量，则可以对任何 $s \ge n/k$ 使用 $O(kn)$ 重组进行转换，并且 (3) 我们为 $s \leq n/(3k )$。(4) 我们证明当 $k \in O(n^{\varepsilon})$ 和 $s \in O(n^{1-\varepsilon})$ 时，问题是 PSPACE 完全的，对于任何常数 $0 < \varepsilon \le 1$，即使对于受限设置，例如当 $G$ 是边极大平面图或 $k=3$ 且 $G$ 是平面时。使用最多 $6(k-1)$ 重组总是可能的。(2) 如果 $G$ 是哈密顿量，则可以对任何 $s \ge n/k$ 使用 $O(kn)$ 重组进行转换，并且 (3) 我们提供 $s \leq n/(3k )$。(4) 我们证明当 $k \in O(n^{\varepsilon})$ 和 $s \in O(n^{1-\varepsilon})$ 时，问题是 PSPACE 完全的，对于任何常数 $0 < \varepsilon \le 1$，即使对于受限设置，例如当 $G$ 是边极大平面图或 $k=3$ 且 $G$ 是平面时。