For an overdetermined system $\mathsf{A}\mathsf{x} \approx \mathsf{b}$ with $\mathsf{A}$ and $\mathsf{b}$ given, the least-square (LS) formulation $\min_x \, \|\mathsf{A}\mathsf{x}-\mathsf{b}\|_2$ is often used to find an acceptable solution $\mathsf{x}$. The cost of solving this problem depends on the dimensions of $\mathsf{A}$, which are large in many practical instances. This cost can be reduced by the use of random sketching, in which we choose a matrix $\mathsf{S}$ with fewer rows than $\mathsf{A}$ and $\mathsf{b}$, and solve the sketched LS problem $\min_x \, \|\mathsf{S}(\mathsf{A} \mathsf{x}-\mathsf{b})\|_2$ to obtain an approximate solution to the original LS problem. Significant theoretical and practical progress has been made in the last decade in designing the appropriate structure and distribution for the sketching matrix $\mathsf{S}$. When $\mathsf{A}$ and $\mathsf{b}$ arise from discretizations of a PDE-based inverse problem, tensor structure is often present in $\mathsf{A}$ and $\mathsf{b}$. For reasons of practical efficiency, $\mathsf{S}$ should be designed to have a structure consistent with that of $\mathsf{A}$. Can we claim similar approximation properties for the solution of the sketched LS problem with structured $\mathsf{S}$ as for fully-random $\mathsf{S}$? We give estimates that relate the quality of the solution of the sketched LS problem to the size of the structured sketching matrices, for two different structures. Our results are among the first known for random sketching matrices whose structure is suitable for use in PDE inverse problems.

中文翻译：

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PDE 逆问题的结构化随机草图

对于给定 $\mathsf{A}$ 和 $\mathsf{b}$ 的超定系统 $\mathsf{A}\mathsf{x} \approx \mathsf{b}$，最小二乘 (LS) 公式 $ \min_x \, \|\mathsf{A}\mathsf{x}-\mathsf{b}\|_2$ 通常用于寻找可接受的解决方案 $\mathsf{x}$。解决这个问题的成本取决于 $\mathsf{A}$ 的维度，在许多实际情况下这些维度很大。这种成本可以通过使用随机草图来降低，其中我们选择行数少于 $\mathsf{A}$ 和 $\mathsf{b}$ 的矩阵 $\mathsf{S}$，并求解绘制的 LS问题 $\min_x \, \|\mathsf{S}(\mathsf{A} \mathsf{x}-\mathsf{b})\|_2$ 以获得原始 LS 问题的近似解。在过去十年中，在设计草图矩阵 $\mathsf{S}$ 的适当结构和分布方面取得了重大的理论和实践进展。当 $\mathsf{A}$ 和 $\mathsf{b}$ 来自基于 PDE 的逆问题的离散化时，张量结构通常出现在 $\mathsf{A}$ 和 $\mathsf{b}$ 中。出于实用效率的考虑，$\mathsf{S}$ 应设计为具有与 $\mathsf{A}$ 一致的结构。对于结构化的 $\mathsf{S}$ 和完全随机的 $\mathsf{S}$ 的草图 LS 问题的解决方案，我们是否可以声明类似的近似属性？对于两种不同的结构，我们给出了将草图 LS 问题的解决方案的质量与结构化草图矩阵的大小相关联的估计。我们的结果是最早已知的随机草图矩阵之一，其结构适用于 PDE 逆问题。张量结构通常出现在 $\mathsf{A}$ 和 $\mathsf{b}$ 中。出于实用效率的考虑，$\mathsf{S}$ 应设计为具有与 $\mathsf{A}$ 一致的结构。对于结构化的 $\mathsf{S}$ 和完全随机的 $\mathsf{S}$ 的草图 LS 问题的解决方案，我们是否可以声明类似的近似属性？对于两种不同的结构，我们给出了将草图 LS 问题的解决方案的质量与结构化草图矩阵的大小相关联的估计。我们的结果是最早已知的随机草图矩阵之一，其结构适用于 PDE 逆问题。张量结构通常出现在 $\mathsf{A}$ 和 $\mathsf{b}$ 中。出于实用效率的考虑，$\mathsf{S}$ 应设计为具有与 $\mathsf{A}$ 一致的结构。对于结构化的 $\mathsf{S}$ 和完全随机的 $\mathsf{S}$ 的草图 LS 问题的解决方案，我们是否可以声明类似的近似属性？对于两种不同的结构，我们给出了将草图 LS 问题的解决方案的质量与结构化草图矩阵的大小相关联的估计。我们的结果是最早已知的随机草图矩阵之一，其结构适用于 PDE 逆问题。对于结构化的 $\mathsf{S}$ 和完全随机的 $\mathsf{S}$ 的草图 LS 问题的解决方案，我们是否可以声明类似的近似属性？对于两种不同的结构，我们给出了将草图 LS 问题的解决方案的质量与结构化草图矩阵的大小相关联的估计。我们的结果是最早已知的随机草图矩阵之一，其结构适用于 PDE 逆问题。对于结构化的 $\mathsf{S}$ 和完全随机的 $\mathsf{S}$ 的草图 LS 问题的解决方案，我们是否可以声明类似的近似属性？对于两种不同的结构，我们给出了将草图 LS 问题的解决方案的质量与结构化草图矩阵的大小相关联的估计。我们的结果是最早已知的随机草图矩阵之一，其结构适用于 PDE 逆问题。