Abstract The energy test of multivariate normality is an affine invariant test based on a characterization of equal distributions by energy distance. The test statistic is a degenerate kernel V-statistic, which asymptotically has a sampling distribution that is a Gaussian quadratic form under the null hypothesis of normality. The parameters of the limit distribution are the eigenvalues of the integral operator determined by the energy distance. Although a Monte Carlo approach provides excellent approximations to the sampling distribution of the test statistic for finite samples, in this work we develop two methods to obtain the eigenvalues and the asymptotic distribution of the energy test statistic. We derive the explicit integral equations for the eigenvalue problem for the simple and composite hypotheses of normality and solve them by a variation of Nystrom’s method. For the simple hypothesis, we also obtain the eigenvalues by an empirical approach which we call the sample kernel method. Numerical results are summarized in tables of derived eigenvalues for several cases. The resulting probability distribution in each case is obtained by Imhof’s method. We also include simulation results that illustrate that for large samples the derived limit distribution is quite accurate in the upper tail. Software is available in the energy package for R to implement the tests by the original (Monte Carlo) approach and by applying the new methods using the derived asymptotic distribution.

中文翻译：

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关于正态性的能量测试

摘要 多元正态性能量检验是一种基于能量距离对等分布特征的仿射不变性检验。检验统计量是退化核 V 统计量，其在正态性原假设下渐近地具有高斯二次型的抽样分布。极限分布的参数是由能量距离确定的积分算子的特征值。尽管蒙特卡罗方法为有限样本的检验统计量的抽样分布提供了极好的近似值，但在这项工作中，我们开发了两种方法来获得能量检验统计量的特征值和渐近分布。我们推导出正态性的简单和复合假设的特征值问题的显式积分方程，并通过 Nystrom 方法的变体来求解它们。对于简单假设，我们还通过我们称为样本核方法的经验方法获得特征值。数值结果总结在几个案例的派生特征值表中。每种情况下产生的概率分布是通过 Imhof 方法获得的。我们还包括模拟结果，说明对于大样本，导出的极限分布在上尾非常准确。R 的能量包中提供了软件，可通过原始（蒙特卡罗）方法和使用导出的渐近分布应用新方法来实施测试。我们还通过我们称之为样本核方法的经验方法获得特征值。数值结果总结在几个案例的派生特征值表中。每种情况下产生的概率分布是通过 Imhof 方法获得的。我们还包括模拟结果，说明对于大样本，导出的极限分布在上尾非常准确。R 的能量包中提供了软件，可通过原始（蒙特卡罗）方法和使用导出的渐近分布应用新方法来实施测试。我们还通过我们称之为样本核方法的经验方法获得特征值。数值结果总结在几个案例的派生特征值表中。每种情况下产生的概率分布是通过 Imhof 方法获得的。我们还包括模拟结果，说明对于大样本，导出的极限分布在上尾非常准确。R 的能量包中提供了软件，可通过原始（蒙特卡罗）方法和使用导出的渐近分布应用新方法来实施测试。我们还包括模拟结果，说明对于大样本，导出的极限分布在上尾非常准确。R 的能量包中提供了软件，可通过原始（蒙特卡罗）方法和使用导出的渐近分布应用新方法来实施测试。我们还包括模拟结果，说明对于大样本，导出的极限分布在上尾非常准确。R 的能量包中提供了软件，可通过原始（蒙特卡罗）方法和使用导出的渐近分布应用新方法来实施测试。