A well-known result of Benjamini, Lyons, Peres, and Schramm states that if $G$ is a finitely generated Cayley graph of a group $\Gamma$, then $\Gamma$ is amenable if and only if $G$ admits a $\Gamma$-invariant random spanning tree with at most two ends. We show that this is equivalent to the existence of a $\Gamma$-invariant random spanning double ray in a power of $G$.

中文翻译：

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服从群中的不变跨越双射线

Benjamini、Lyons、Peres 和 Schramm 的一个众所周知的结果表明，如果 $G$ 是一个群 $\Gamma$ 的有限生成的 Cayley 图，那么当且仅当 $G$ 承认一个群 $\Gamma$ 时，$\Gamma$ 是适合的$\Gamma$-最多有两端的不变随机生成树。我们证明这等价于 $\Gamma$-invariant 随机跨度为 $G$ 的双射线的存在。