Abstract In this paper, nonlinear vibrations of fractional viscoelastic functionally graded micro-beam are studied based on the fractional calculus. The Modified Couple Stress Theory (MCST) is utilized for considering the effect of the micro-scale. The micro-beam is modeled based on the Euler-Bernoulli theory and the Von Karman’s nonlinear strain relations. The viscoelastic part of the micro-beam is considered using the fractional Kelvin-Voigt viscoelastic model. Functionally graded properties vary along the thickness based on a power-law function. The small-scale effects of the micro-beam are modeled using the MCST. Hamiltons principle is used to derive the governing equation of motion. For the solution, the Finite Difference Method (FDM) and the Finite Element Method (FEM) are employed. The FDM is used for discretizing the time domain, and the FEM is used for discretizing the space domain. Effects of the fractional-order, microstructure parameters, and Functionally Graded Material (FGM) properties on the time response of the viscoelastic micro-beam are analyzed numerically. Numerical results show that the fractional-order modeling of the viscoelastic micro-beam can change the behavior of the structure, and increasing the fractional-order, can increase the damping of the system. Numerical simulations also suggest that the effect of the fractional derivative order on the responses of free and forced vibrations is different because there is an important correlation between the fractional-order derivative and the excitation frequency. The results of this paper can be used for modeling the damping of the viscoelastic structures.

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分数模拟粘弹性 FGM 微梁的非线性自由和受迫振动

摘要 本文基于分数阶微积分研究了分数粘弹性泛函梯度微梁的非线性振动问题。修正耦合应力理论 (MCST) 用于考虑微观尺度的影响。微梁是基于 Euler-Bernoulli 理论和 Von Karman 非线性应变关系建模的。使用分数 Kelvin-Voigt 粘弹性模型考虑微束的粘弹性部分。功能梯度特性基于幂律函数沿厚度变化。使用 MCST 对微束的小尺度效应进行建模。哈密​​顿原理用于推导运动的控制方程。对于解决方案，采用了有限差分法 (FDM) 和有限元法 (FEM)。FDM 用于离散时域，FEM 用于离散空间域。数值分析了分数阶、微观结构参数和功能梯度材料 (FGM) 特性对粘弹性微梁时间响应的影响。数值结果表明，粘弹性微梁的分数阶建模可以改变结构的行为，增加分数阶可以增加系统的阻尼。数值模拟还表明，分数阶导数对自由振动和受迫振动响应的影响是不同的，因为分数阶导数与激励频率之间存在重要的相关性。本文的结果可用于对粘弹性结构的阻尼进行建模。数值分析了分数阶、微观结构参数和功能梯度材料 (FGM) 特性对粘弹性微梁时间响应的影响。数值结果表明，粘弹性微梁的分数阶建模可以改变结构的行为，增加分数阶可以增加系统的阻尼。数值模拟还表明，分数阶导数对自由振动和受迫振动响应的影响是不同的，因为分数阶导数与激励频率之间存在重要的相关性。本文的结果可用于对粘弹性结构的阻尼进行建模。数值分析了分数阶、微观结构参数和功能梯度材料 (FGM) 特性对粘弹性微梁时间响应的影响。数值结果表明，粘弹性微梁的分数阶建模可以改变结构的行为，增加分数阶可以增加系统的阻尼。数值模拟还表明，分数阶导数对自由振动和受迫振动响应的影响是不同的，因为分数阶导数与激励频率之间存在重要的相关性。本文的结果可用于对粘弹性结构的阻尼进行建模。和功能梯度材料 (FGM) 特性对粘弹性微梁的时间响应进行了数值分析。数值结果表明，粘弹性微梁的分数阶建模可以改变结构的行为，增加分数阶可以增加系统的阻尼。数值模拟还表明，分数阶导数对自由振动和受迫振动响应的影响是不同的，因为分数阶导数与激励频率之间存在重要的相关性。本文的结果可用于对粘弹性结构的阻尼进行建模。和功能梯度材料 (FGM) 特性对粘弹性微梁的时间响应进行了数值分析。数值结果表明，粘弹性微梁的分数阶建模可以改变结构的行为，增加分数阶可以增加系统的阻尼。数值模拟还表明，分数阶导数对自由振动和受迫振动响应的影响是不同的，因为分数阶导数与激励频率之间存在重要的相关性。本文的结果可用于对粘弹性结构的阻尼进行建模。数值结果表明，粘弹性微梁的分数阶建模可以改变结构的行为，增加分数阶可以增加系统的阻尼。数值模拟还表明，分数阶导数对自由振动和受迫振动响应的影响是不同的，因为分数阶导数与激励频率之间存在重要的相关性。本文的结果可用于对粘弹性结构的阻尼进行建模。数值结果表明，粘弹性微梁的分数阶建模可以改变结构的行为，增加分数阶可以增加系统的阻尼。数值模拟还表明，分数阶导数对自由振动和受迫振动响应的影响是不同的，因为分数阶导数与激励频率之间存在重要的相关性。本文的结果可用于对粘弹性结构的阻尼进行建模。数值模拟还表明，分数阶导数对自由振动和受迫振动响应的影响是不同的，因为分数阶导数与激励频率之间存在重要的相关性。本文的结果可用于对粘弹性结构的阻尼进行建模。数值模拟还表明，分数阶导数对自由振动和受迫振动响应的影响是不同的，因为分数阶导数与激励频率之间存在重要的相关性。本文的结果可用于对粘弹性结构的阻尼进行建模。