In this paper, we study the existence of positive solutions to a semilinear nonlocal Hénon type elliptic problem with the fractional $s$-Laplacian on $R^n$, $1∕2<s<n∕2$. By showing a new inequality, we show that the problem has at least one positive solution in $H^s\left(R^n\right)$. We also show that in some cases, via the use of Hardy type inequality for $0<s<n∕2$, there is a nontrivial non-negative $H^s\left(R^n\right)$ weak solution to the semilinear nonlocal elliptic problem with the fractional $s$-Laplacian on $R^n$ and with Hardy type singularity term.

中文翻译：

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关于分数拉普拉斯算子的非局部Hénon型问题

本文研究分数阶半线性非局部Hénon型椭圆问题正解的存在性 $s$-拉普拉斯 ${\mathrm{[R}}^{ñ}$， $\mathrm{1个}∕2<s<ñ∕2$。通过显示新的不等式，我们表明该问题至少有一个正解$H^s（{\mathrm{[R}}^{ñ}）$。我们还表明，在某些情况下，通过使用Hardy型不等式$0<s<ñ∕2$，有一个非平凡的非负数 $H^s（{\mathrm{[R}}^{ñ}）$ 分数阶半线性非局部椭圆问题的弱解 $s$-拉普拉斯 ${\mathrm{[R}}^{ñ}$ 并带有Hardy类型的奇点。