We prove the following Helly-type result. Let ${\mathcal{C}}_1,\dots ,{\mathcal{C}}_{3d}$ be finite families of convex bodies in ${\mathbb{R}}^d$. Assume that for any colorful selection of 2d sets, $C_{i_k}\in {\mathcal{C}}_{i_k}$ for each $1\le k\le 2d$ with $1\le i_1<\dots <i_{2d}\le 3d$, the intersection $\bigcap _{k=1}^{2d}{C}_{i_k}$ is of volume at least 1. Then there is an $1\le i\le 3d$ such that $\bigcap _{C\in {\mathcal{C}}_i}C$ is of volume at least $d^{-O(d^2)}$.

中文翻译：

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凸体相交体积的彩色Helly型定理

我们证明以下Helly型结果。让${\mathcal{C}}_{\mathrm{1个}}，\dots ，{\mathcal{C}}_{3d}$ 是凸凸体的有限族 ${\mathbb{[R}}^d$。假设对于2d集的任何彩色选择，$C_{{\mathrm{一世}}_{ķ}}\in {\mathcal{C}}_{{\mathrm{一世}}_{ķ}}$ 每个 $\mathrm{1个}\le ķ\le 2d$ 与 $\mathrm{1个}\le {\mathrm{一世}}_{\mathrm{1个}}<\dots <{\mathrm{一世}}_{2d}\le 3d$， 十字路口 $\bigcap _{ķ=\mathrm{1个}}^{2d}{C}_{{\mathrm{一世}}_{ķ}}$ 的体积至少为1。然后有一个 $\mathrm{1个}\le \mathrm{一世}\le 3d$ 这样 $\bigcap _{C\in {\mathcal{C}}_{\mathrm{一世}}}C$ 至少有数量 $d^{-Ø（d^2）}$。