Let G be a finite group. We denote by $$Nil_G(x)$$ the set of elements $$y\in G$$ such that $$\langle x,y\rangle $$ is a nilpotent subgroup and by $$\nu _1(G)$$ and $$\nu (G)$$ the probability that two randomly chosen elements of G respectively generate an abelian subgroup and a nilpotent subgroup. A group G is called an $${\mathcal {N}}$$ -group if $$Nil_G(x)$$ is a group for all $$x\in G$$ . It is proved that G is supersolvable if there exists a normal subgroup H such that either $$\nu _1(H)>\frac{1}{3}|G:H|$$ or G is an $${\mathcal {N}}$$ -group and $$\nu (H)>\frac{1}{3}|G:H|$$ .

中文翻译：

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关于有限群的幂零概率和超可解性

令 G 为有限群。我们用 $$Nil_G(x)$$ 表示元素集合 $$y\in G$$ 使得 $$\langle x,y\rangle $$ 是一个幂零子群，并用 $$\nu _1(G) $$ 和 $$\nu (G)$$ G 的两个随机选择的元素分别生成阿贝尔子群和幂零子群的概率。如果 $$Nil_G(x)$$ 是所有 $$x\in G$$ 的组，则组 G 称为 $${\mathcal {N}}$$ -group。证明如果存在正规子群 H 使得 $$\nu _1(H)>\frac{1}{3}|G:H|$$ 或 G 是 $${\mathcal {N}}$$ -group 和 $$\nu (H)>\frac{1}{3}|G:H|$$ 。