For any $\beta >1$, let $([0,1),T_{\beta })$ be the β-transformation dynamical system. For any $y\in [0,1)$, define the distal set of a given point y as $D_{\beta }(y)=\{x\in [0,1):\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}|T_{\beta }^n(x)-T_{\beta }^n(y)|>0\}$Yang, Li, et al. [15 Q.-Q. Yang, B. Li, W.-B. Liu, and Y.-C. Chen, On the distal and asymptotic sets for β-transformations, J. Math. Anal. Appl. 464 (2018), pp. 188–200.[Crossref], [Web of Science ®] , [Google Scholar]] proved that the Hausdorff dimension of the distal set of any point is one for any β>1. In this paper, we study the winning property of the distal set of a given point y. We prove that the distal set of a given point y is α-winning for any $\beta >1$ and $y\in [0,1)$, where $\alpha <\frac{1}{64}$ is a constant. By the definition of winning set, it's obvious that the distal set of a given point y is a dense set.

对于任何 $\beta >\mathrm{1个}$， 让 $（[0，\mathrm{1个}），{Ť}_{\beta }）$是β转化动力学系统。对于任何$ÿ\in [0，\mathrm{1个}）$，将给定点y的远端集定义为$d_{\beta }（ÿ）=\{X\in [0，\mathrm{1个}）：\underset{ñ\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}|{Ť}_{\beta }^{ñ}（X）-{Ť}_{\beta }^{ñ}（ÿ）|>0\}$杨丽，等。[ 15 问 杨， B.李， W.-B. 刘和Y.-C. 陈，在远端和渐近集β -transformations，J.数学。肛门 应用 464（ 2018），第 188 - 200。[Crossref]，[Web ofScience®]，[  Google Scholar]证明，对于任何β> 1，任何点的远端集的Hausdorff维都是一。在本文中，我们研究了给定点y的远端集合的获胜性质。我们证明了远端设置给定点的Ÿ是α-winning任何$\beta >\mathrm{1个}$ 和 $ÿ\in [0，\mathrm{1个}）$， 在哪里 $\alpha <\frac{\mathrm{1个}}{64}$是一个常数。根据获胜集的定义，很明显，给定点y的远端集是密集集。