We show conditional hardness of Approximate Nearest Neighbor Search (ANN) under the $\ell_\infty$ norm with two simple reductions. Our first reduction shows that hardness of a special case of the Shortest Vector Problem (SVP), which captures many provably hard instances of SVP, implies a lower bound for ANN with polynomial preprocessing time under the same norm. Combined with a recent quantitative hardness result on SVP under $\ell_\infty$ (Bennett et al., FOCS 2017), our reduction implies that finding a $(1+\varepsilon)$-approximate nearest neighbor under $\ell_\infty$ with polynomial preprocessing requires near-linear query time, unless the Strong Exponential Time Hypothesis (SETH) is false. This complements the results of Rubinstein (STOC 2018), who showed hardness of ANN under $\ell_1$, $\ell_2$, and edit distance. Further improving the approximation factor for hardness, we show that, assuming SETH, near-linear query time is required for any approximation factor less than $3$ under $\ell_\infty$. This shows a conditional separation between ANN under the $\ell_1/ \ell_2$ norm and the $\ell_\infty$ norm since there are sublinear time algorithms achieving better than $3$-approximation for the $\ell_1$ and $\ell_2$ norm. Lastly, we show that the approximation factor of $3$ is a barrier for any naive gadget reduction from the Orthogonal Vectors problem.

中文翻译：

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L-无穷大下近似最近邻搜索的硬度

我们在 $\ell_\infty$ 范数下展示了近似最近邻搜索 (ANN) 的条件硬度，并进行了两次简单的缩减。我们的第一个简化表明，最短向量问题 (SVP) 的一个特殊情况的难度，它捕获了 SVP 的许多可证明的困难实例，这意味着在相同范数下具有多项式预处理时间的 ANN 的下限。结合最近在 $\ell_\infty$ 下 SVP 的定量硬度结果（Bennett 等人，FOCS 2017），我们的减少意味着在 $\ell_\infty 下找到一个 $(1+\varepsilon)$-近似最近邻带有多项式预处理的 $ 需要接近线性的查询时间，除非强指数时间假设 (SETH) 为假。这补充了 Rubinstein (STOC 2018) 的结果，他展示了 ANN 在 $\ell_1$、$\ell_2$ 和编辑距离下的硬度。进一步改进硬度的近似因子，我们表明，假设 SETH，在 $\ell_\infty$ 下任何小于 $3$ 的近似因子都需要接近线性的查询时间。这显示了 $\ell_1/\ell_2$ 范数和 $\ell_\infty$ 范数下的 ANN 之间的条件分离，因为对于 $\ell_1$ 和 $\ell_2$ 而言，存在优于 $3$ 近似的次线性时间算法规范。最后，我们证明了 $3$ 的近似因子是任何来自正交向量问题的朴素小工具减少的障碍。这显示了 $\ell_1/\ell_2$ 范数和 $\ell_\infty$ 范数下的 ANN 之间的条件分离，因为对于 $\ell_1$ 和 $\ell_2$ 而言，存在优于 $3$ 近似的次线性时间算法规范。最后，我们证明了 $3$ 的近似因子是任何来自正交向量问题的朴素小工具减少的障碍。这显示了 $\ell_1/\ell_2$ 范数和 $\ell_\infty$ 范数下的 ANN 之间的条件分离，因为对于 $\ell_1$ 和 $\ell_2$ 而言，存在优于 $3$ 近似的次线性时间算法规范。最后，我们证明了 $3$ 的近似因子是任何来自正交向量问题的朴素小工具减少的障碍。