Let $a_1$ , $a_2$ , and $a_3$ be distinct reduced residues modulo q satisfying the congruences $a_1^2 \equiv a_2^2 \equiv a_3^2 \ (\mathrm{mod}\ q)$ . We conditionally derive an asymptotic formula, with an error term that has a power savings in q, for the logarithmic density of the set of real numbers x for which $\pi (x;q,a_1)> \pi (x;q,a_2) > \pi (x;q,a_3)$ . The relationship among the $a_i$ allows us to normalize the error terms for the $\pi (x;q,a_i)$ in an atypical way that creates mutual independence among their distributions, and also allows for a proof technique that uses only elementary tools from probability.

令 $a_1$ 、 $a_2$ 和 $a_3$ 是满足同余 $a_1^2 \equiv a_2^2 \equiv a_3^2 \ (\mathrm{mod}\ q)$ 的模q的不同约简残差。我们有条件地推导出一个渐近公式，其误差项在q中具有功率节省，用于实数集合 x的对数密度，其中 $\pi (x;q,a_1)> \pi (x;q, a_2) > \pi (x;q,a_3)$ 。 $a_i$ 之间的关系 允许我们对 $\pi (x;q,a_i)$ 的误差项进行归一化 以一种非典型的方式，在它们的分布之间创建相互独立，并且还允许一种仅使用概率的基本工具的证明技术。