A polyomino is a finite, edge-connected set of cells in the plane. At the present time, an enumeration of all polyominoes is nowhere in sight. On the other hand, there are several subsets of polyominoes for which generating functions are known. For example, there exists extensive knowledge about column-convex polyominoes, a model introduced by Temperley in 1956. While studying column-convex polyominoes, researchers also gave a look at diagonally convex polyominoes (DCPs), but noticed an awkward feature: when the last diagonal of a DCP is deleted, the remaining object is not always a polyomino. So researchers focused their attention on directed DCPs. (A directed DCP is such a DCP that remains a polyomino when, for any $i$, its last $i$ diagonals are deleted.) Directed DCPs gradually became well understood, whereas general DCPs have remained unexplored up to now. In this paper, we finally face general DCPs. Modulo a little trick, which saves us from dealing with non-polyominoes, we use the layered approach (described in chapter 3 of the book ``Polygons, Polyominoes and Polycubes", edited by Anthony Guttmann). The computations are of remarkable bulk. Our main result is the perimeter generating function for DCPs; we denote it $D(d,x)$. The function $D(d,x)$ is algebraic and satisfies an equation of degree eight. The formula for $D(d,x)$ is about eight pages long. That formula involves nine polynomials in $d$ and $x$, and each of those polynomials is of degree $58$ or more in $x$. The interested reader can view the formula for $D(d,x)$ in the Maple worksheet attached to this paper.

中文翻译：

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无向对角凸多联式的周长生成函数

多联骨牌是平面中有限的、边连接的单元集。目前，还没有看到所有多联骨牌的枚举。另一方面，有几个多联骨牌的子集，其生成函数是已知的。例如，在 1956 年由 Temperley 引入的模型，关于柱凸多联骨的知识已经广泛存在。在研究柱凸多联骨的同时，研究人员还研究了对角凸多联骨 (DCP)，但注意到一个尴尬的特征：当最后一个删除 DCP 的对角线，剩余的对象并不总是多联式。因此，研究人员将注意力集中在定向 DCP 上。（有向 DCP 是这样的 DCP，当对于任何 $i$，删除其最后的 $i$ 对角线时，它仍然是多联式。）有向 DCP 逐渐被很好地理解，而一般的 DCP 至今仍未被探索。在本文中，我们终于面对了一般的 DCP。模数一个小技巧，它使我们免于处理非多联骨牌，我们使用分层方法（在 Anthony Guttmann 编辑的“Polygons, Polyominoes and Polycubes”一书的第 3 章中描述）。计算量非常大。我们的主要结果是 DCP 的周长生成函数；我们将其表示为 $D(d,x)$。函数 $D(d,x)$ 是代数的并且满足 8 次方程。$D(d) 的公式,x)$ 大约有八页。该公式涉及 $d$ 和 $x$ 中的 9 个多项式，并且这些多项式中的每一个在 $x$ 中的阶数为 $58$ 或更多。有兴趣的读者可以查看 $d$ 和 $x$ 的公式D(d,x)$ 在本文随附的 Maple 工作表中。该公式涉及 $d$ 和 $x$ 中的九个多项式，并且这些多项式中的每一个在 $x$ 中的阶数为 $58$ 或更多。感兴趣的读者可以在本文所附的 Maple 工作表中查看 $D(d,x)$ 的公式。该公式涉及 $d$ 和 $x$ 中的九个多项式，并且这些多项式中的每一个在 $x$ 中的阶数为 $58$ 或更多。感兴趣的读者可以在本文所附的 Maple 工作表中查看 $D(d,x)$ 的公式。