If a real a is random over a model M and $$x\in M[a]$$ x ∈ M [ a ] is another real then either (1) $$x\in M$$ x ∈ M , or (2) $$M[x]=M[a]$$ M [ x ] = M [ a ] , or (3) M [ x ] is a random extension of M and M [ a ] is a random extension of M [ x ]. This result may belong to the old set theoretic folklore. It appeared as Exapmle 1.17 in Jech’s book “Multiple forcing” without the claim that M [ x ] is a random extension of M in (3), but, likely, it has never been published with a detailed proof. A corollary: $${{\varvec{\Sigma }}}^{1}_{n}$$ Σ n 1 -Reduction holds for all $$n\ge 3$$ n ≥ 3 , in models extending the constructible universe $$\mathbf{L}$$ L by $$\kappa $$ κ -many random reals, $$\kappa $$ κ being any uncountable cardinal in $$\mathbf{L}$$ L .

中文翻译：

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分解 Solovay 随机扩展，并应用于减少属性

如果实数 a 在模型 M 上是随机的，并且 $$x\in M[a]$$ x ∈ M [ a ] 是另一个实数，那么 (1) $$x\in M$$ x ∈ M ，或 ( 2) $$M[x]=M[a]$$ M [ x ] = M [ a ] ，或 (3) M [ x ] 是 M 的随机扩展而 M [ a ] 是 M 的随机扩展[ X ]。这个结果可能属于旧的集合论民间传说。它作为示例 1.17 出现在 Jech 的“多重强迫”一书中，没有声称 M [ x ] 是 (3) 中 M 的随机扩展，但很可能它从未发表过详细的证明。一个推论： $${{\varvec{\Sigma }}}^{1}_{n}$$ Σ n 1 -Reduction 对于所有 $$n\ge 3$$ n ≥ 3 ，在扩展可构造的模型中成立宇宙 $$\mathbf{L}$$ L 乘以 $$\kappa $$ κ -许多随机实数，$$\kappa $$ κ 是 $$\mathbf{L}$$ L 中的任何不可数基数。