SIAM Journal on Control and Optimization, Volume 58, Issue 6, Page 3293-3321, January 2020.
In this paper, we study the problem of constructing flat inputs for multi-output dynamical systems. The notion of flat inputs has been introduced by Waldherr and Zeitz in [Internat. J. Control, 81 (2008), pp. 439--443; IFAC Proc. Vol., 43 (2010), pp. 695--700] and can be seen as dual to that of flat outputs. In the single-output case, a flat input can be constructed if and only if the original dynamical system together with its output is observable. In the multi-output case, the observability is not necessary for the existence of flat inputs. The observable case has been treated by Waldherr and Zeitz in [IFAC Proc. Vol., 43 (2010), pp. 695--700], where a system of linear algebraic equations has been proposed in order to determine the control vector fields associated to the flat inputs. The goal of this paper is to treat the unobservable case for multi-output dynamical systems. We start by discussing the case when the dynamical system together with the given output is observable and we present a generalization of the 2010 results of Waldherr and Zeitz by relating them with the notion of minimal differential weight. Then we give our main results. We consider the unobservable case for which locally, around any point of an open and dense subset of $\mathbb{R}^n$, we construct control vector fields $g_1,\ldots, g_m$ such that the associated control system is flat (where $n$ and $m$ denote, resp., the state and the output dimensions). Finally, we explain how our results can be applied to private communication.

中文翻译：

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固定输入：理论与应用

SIAM控制与优化杂志，第58卷，第6期，第3293-3321页，2020年1月。
在本文中，我们研究了为多输出动力系统构造平面输入的问题。固定输入的概念由Waldherr和Zeitz在[Internat。J.Control，81（2008），第439--443页; IFAC程序。第43卷（2010），第695--700页]，可以看作是平板输出的双重对偶。在单输出的情况下，当且仅当原始动力系统及其输出可观察到时，才能构造平面输入。在多输出的情况下，对于平面输入的存在，可观察性不是必需的。Waldherr和Zeitz在[IFAC Proc。Vol。43（2010），pp。695--700]，其中提出了线性代数方程组，以确定与平面输入相关的控制矢量场。本文的目的是处理多输出动力系统的不可观测情况。我们首先讨论动力学系统和给定输出可观察到的情况，然后通过将Waldherr和Zeitz与最小差分权重的概念联系起来，对2010年的结果进行概括。然后我们给出主要结果。我们考虑不可观测的情况，在该情况下，在$ \ mathbb {R} ^ n $的一个开放且密集的子集的任何点附近，我们构造控制矢量字段$ g_1，\ ldots，g_m $，以使相关的控制系统平坦（其中$ n $和$ m $分别表示状态和输出尺寸）。最后，我们解释了如何将我们的结果应用于私人通讯。我们首先讨论动力学系统和给定输出可观察到的情况，然后通过将Waldherr和Zeitz与最小差分权重的概念联系起来，对2010年的结果进行概括。然后我们给出主要结果。我们考虑不可观测的情况，在该情况下，在$ \ mathbb {R} ^ n $的一个开放且密集的子集的任何点附近，我们构造控制矢量字段$ g_1，\ ldots，g_m $，以使相关的控制系统平坦（其中$ n $和$ m $分别表示状态和输出尺寸）。最后，我们解释了如何将我们的结果应用于私人通讯。我们首先讨论动力学系统和给定输出可观察到的情况，然后通过将Waldherr和Zeitz与最小差分权重的概念联系起来，对2010年的结果进行概括。然后我们给出主要结果。我们考虑不可观测的情况，在该情况下，在$ \ mathbb {R} ^ n $的一个开放且密集的子集的任何点附近，我们构造控制矢量字段$ g_1，\ ldots，g_m $，以使相关的控制系统平坦（其中$ n $和$ m $分别表示状态和输出尺寸）。最后，我们解释了如何将我们的结果应用于私人通讯。我们考虑不可观测的情况，在该情况下，在$ \ mathbb {R} ^ n $的一个开放且密集的子集的任何点附近，我们构造控制矢量字段$ g_1，\ ldots，g_m $，以使相关的控制系统平坦（其中$ n $和$ m $分别表示状态和输出尺寸）。最后，我们解释了如何将我们的结果应用于私人通讯。我们考虑不可观测的情况，在该情况下，在$ \ mathbb {R} ^ n $的一个开放且密集的子集的任何点附近，我们构造控制矢量字段$ g_1，\ ldots，g_m $，以使相关的控制系统平坦（其中$ n $和$ m $分别表示状态和输出尺寸）。最后，我们解释了如何将我们的结果应用于私人通讯。