Let $A\subset \mathbb{N}$, $\alpha \in (0,1)$, and $e(x):=e^{2\pi ix}$ for $x\in \mathbb{R}$. We set

$$S_A(\alpha ,N):=\sum _{\begin{array}{c}n\in A\\ n⩽N\end{array}}e(n\alpha ).$$

Recently, A'Campo posed the following question: Is there an infinite non‐cofinite set $A\subset \mathbb{N}$ such that for all $\alpha \in (0,1)$ the sum $S_A(\alpha ,N)$ has bounded modulus as $N\to +\infty$? In this note, we show that such sets do not exist. To do so, we use a theorem by Duffin and Schaeffer on complex power series. We extend our result by proving that if the sum $S_A(\alpha ,N)$ is bounded in modulus on an arbitrarily small interval and on the set of rational points, then the set $A$ has to be either finite or cofinite. On the other hand, we show that there are infinite non‐cofinite sets $A\subset \mathbb{N}$ such that $|S_A(\alpha ,N)|$ is bounded independently of $N$ for all $\alpha \in E\subset (0,1)$, where $\mathbb{Q}\cap (0,1)\subset E$ and $E$ has full Hausdorff dimension.

中文翻译：

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关于有界指数和的注记

让 $\mathrm{一个}\subset \mathbb{ñ}$， $\alpha \in （0，\mathrm{1个}）$， 和 $Ë（X）：={Ë}^{\mathrm{2个}\pi \mathrm{一世}X}$ 为了 $X\in \mathbb{[R}$。我们设置

$${\mathrm{小号}}_{\mathrm{一个}}（\alpha ，ñ）：=\sum _{\begin{array}{c}ñ\in \mathrm{一个}\\ ñ⩽ñ\end{array}}Ë（ñ\alpha ）。$$

最近，A'Campo提出了以下问题：是否存在无限的非限定集 $\mathrm{一个}\subset \mathbb{ñ}$ 这样对于所有人 $\alpha \in （0，\mathrm{1个}）$ 总和 ${\mathrm{小号}}_{\mathrm{一个}}（\alpha ，ñ）$ 的边界模量为 $ñ\to +\infty$？在本说明中，我们表明此类集合不存在。为此，我们使用Duffin和Schaeffer的关于复数幂级数的定理。通过证明如果求和${\mathrm{小号}}_{\mathrm{一个}}（\alpha ，ñ）$ 在任意小的间隔和有理点集上的模数范围内 $\mathrm{一个}$必须是有限的或有限的。另一方面，我们表明有无限的非定集$\mathrm{一个}\subset \mathbb{ñ}$ 这样 $|{\mathrm{小号}}_{\mathrm{一个}}（\alpha ，ñ）|$ 不受限制 $ñ$ 对全部 $\alpha \in E\subset （0，\mathrm{1个}）$， 在哪里 $\mathbb{问}\cap （0，\mathrm{1个}）\subset E$ 和 $E$ 具有完整的Hausdorff尺寸。