Let µ be a positive measure on the unit circle that is regular in the sense of Stahl, Totik, and Ullmann. Assume that in some subarc J, µ is absolutely continuous, while µ ′ is positive and continuous. Let { φ n } be the orthonormal polynomials for µ . We show that for appropriate ζ n ∈ J , $${{\rm{\{ }}{{{\varphi _n}({\zeta _n}(1 + {\textstyle{z \over n}}))} \over {{\varphi _n}({\zeta _n})}}{\rm{\}}}_{n \ge 1}}$$ { φ n ( ζ n ( 1 + z n ) ) φ n ( ζ n ) } n ≥ 1 is a normal family in compact subsets of ℂ. Using universality limits, we show that limits of subsequences have the form e z + C ( e z − 1) for some constant C . Under additional conditions, we can set C = 0.

中文翻译：

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单位圆上正交多项式的局部渐近通过普适性

令 µ 是 Stahl、Totik 和 Ullmann 意义上的正则单位圆的正测度。假设在某些子弧 J 中，μ 是绝对连续的，而 μ ′ 是正的且连续的。令 { φ n } 为 µ 的正交多项式。我们证明，对于合适的 ζ n ∈ J ， $${{\rm{\{ }}{{{\varphi _n}({\zeta _n}(1 + {\textstyle{z \over n}}))} \over {{\varphi _n}({\zeta _n})}}{\rm{\}}}_{n \ge 1}}$$ { φ n ( ζ n ( 1 + zn ) ) φ n ( ζ n ) } n ≥ 1 是 ℂ 的紧子集中的正规族。使用普遍性限制，我们证明子序列的限制对于某些常数 C 具有 ez + C ( ez − 1) 的形式。在附加条件下，我们可以设置 C = 0。