In this paper we consider the Ideal Membership Problem (IMP for short), in which we are given real polynomials $f_0, f_1, \dots, f_k$ and the question is to decide whether $f_0$ belongs to the ideal generated by $f_1, \dots, f_k$. In the more stringent version the task is also to find a proof of this fact. The IMP underlies many proof systems based on polynomials such as Nullstellensatz, Polynomial Calculus, and Sum-of-Squares. In the majority of such applications the IMP involves so called combinatorial ideals that arise from a variety of discrete combinatorial problems. This restriction makes the IMP significantly easier and in some cases allows for an efficient algorithm to solve it. In 2019 Mastrolilli initiated a systematic study of IMPs arising from Constraint Satisfaction Problems (CSP) of the form CSP($\Gamma$), that is, CSPs in which the type of constraints is limited to relations from a set $\Gamma$. He described sets $\Gamma$ on a 2-element set that give rise to polynomial time solvable IMPs and showed that for the remaining ones the problem is hard. We continue this line of research. First, we show that many CSP techniques can be translated to IMPs thus allowing us to significantly improve the methods of studying the complexity of the IMP. We also develop universal algebraic techniques for the IMP that have been so useful in the study of the CSP. This allows us to prove a general necessary condition for the tractability of the IMP, and three sufficient ones. The sufficient conditions include IMPs arising from systems of linear equations over $GF(p)$, $p$ prime, and also some conditions defined through special kinds of polymorphisms.

中文翻译：

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基于CSP的理想成员问题的复杂性

在本文中，我们考虑理想成员问题（简称 IMP），其中给定实数多项式 $f_0, f_1, \dots, f_k$ 问题是确定 $f_0$ 是否属于 $f_1 生成的理想, \dots, f_k$。在更严格的版本中，任务也是找到这个事实的证明。IMP 是许多基于多项式的证明系统的基础，例如 Nullstellensatz、多项式微积分和平方和。在大多数此类应用中，IMP 涉及从各种离散组合问题产生的所谓组合理想。这种限制使 IMP 变得更加容易，并且在某些情况下允许使用有效的算法来解决它。2019 年，Mastrolilli 开始对由 CSP($\Gamma$) 形式的约束满足问题 (CSP) 产生的 IMP 进行系统研究，即，其中约束类型仅限于来自集合 $\Gamma$ 的关系的 CSP。他在一个 2 元素集上描述了 $\Gamma$ 集，它产生了多项式时间可解的 IMP，并表明对于其余的问题是困难的。我们继续这方面的研究。首先，我们展示了许多 CSP 技术可以转化为 IMP，从而使我们能够显着改进研究 IMP 复杂性的方法。我们还为 IMP 开发了通用代数技术，这些技术在 CSP 的研究中非常有用。这使我们能够证明 IMP 的可处理性的一般必要条件和三个充分条件。充分条件包括由$GF(p)$、$p$素数上的线性方程组产生的IMP，以及一些通过特殊类型的多态性定义的条件。他在一个 2 元素集上描述了 $\Gamma$ 集，它产生了多项式时间可解的 IMP，并表明对于其余的问题是困难的。我们继续这方面的研究。首先，我们展示了许多 CSP 技术可以转化为 IMP，从而使我们能够显着改进研究 IMP 复杂性的方法。我们还为 IMP 开发了通用代数技术，这些技术在 CSP 的研究中非常有用。这使我们能够证明 IMP 的可处理性的一般必要条件和三个充分条件。充分条件包括由$GF(p)$、$p$素数上的线性方程组产生的IMP，以及一些通过特殊类型的多态性定义的条件。他在一个 2 元素集上描述了 $\Gamma$ 集，它产生了多项式时间可解的 IMP，并表明对于其余的问题是困难的。我们继续这方面的研究。首先，我们展示了许多 CSP 技术可以转化为 IMP，从而使我们能够显着改进研究 IMP 复杂性的方法。我们还为 IMP 开发了通用代数技术，这些技术在 CSP 的研究中非常有用。这使我们能够证明 IMP 的可处理性的一般必要条件和三个充分条件。充分条件包括由$GF(p)$、$p$素数上的线性方程组产生的IMP，以及一些通过特殊类型的多态性定义的条件。我们展示了许多 CSP 技术可以转化为 IMP，从而使我们能够显着改进研究 IMP 复杂性的方法。我们还为 IMP 开发了通用代数技术，这些技术在 CSP 的研究中非常有用。这使我们能够证明 IMP 的可处理性的一般必要条件和三个充分条件。充分条件包括由$GF(p)$、$p$素数上的线性方程组产生的IMP，以及一些通过特殊类型的多态性定义的条件。我们展示了许多 CSP 技术可以转化为 IMP，从而使我们能够显着改进研究 IMP 复杂性的方法。我们还为 IMP 开发了通用代数技术，这些技术在 CSP 的研究中非常有用。这使我们能够证明 IMP 的可处理性的一般必要条件和三个充分条件。充分条件包括由$GF(p)$、$p$素数上的线性方程组产生的IMP，以及一些通过特殊类型的多态性定义的条件。这使我们能够证明 IMP 的可处理性的一般必要条件和三个充分条件。充分条件包括由$GF(p)$、$p$素数上的线性方程组产生的IMP，以及一些通过特殊类型的多态性定义的条件。这使我们能够证明 IMP 的可处理性的一般必要条件和三个充分条件。充分条件包括由$GF(p)$、$p$素数上的线性方程组产生的IMP，以及一些通过特殊类型的多态性定义的条件。