Understanding the likelihood for an election to be tied is a classical topic in many disciplines including social choice, game theory, political science, and public choice. The problem is important not only as a fundamental problem in probability theory and statistics, but also because of its critical roles in many other important issues such as indecisiveness of voting, strategic voting, privacy of voting, voting power, voter turn out, etc. Despite a large body of literature and the common belief that ties are rare, little is known about how rare ties are in large elections except for a few simple positional scoring rules under the i.i.d. uniform distribution over the votes, known as the Impartial Culture (IC) in social choice. In particular, little progress was made after Marchant [Mar01] explicitly posed the likelihood of k-way ties under IC as an open question in 2001. We give an asymptotic answer to the open question for a wide range of commonly-studied voting rules under a model that is much more general and realistic than i.i.d. models including IC--the smoothed social choice framework [Xia20], which was inspired by the celebrated smoothed complexity analysis [ST09]. We prove dichotomy theorems on the smoothed likelihood of ties under a large class of voting rules. Our main technical tool is an improved dichotomous characterization on the smoothed likelihood for a Poisson multinomial variable to be in a polyhedron, which is proved by exploring the interplay between the V-representation and the matrix representation of polyhedra and might be of independent interest.

中文翻译：

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大型选举的可能性有多大？

了解选举被捆绑的可能性是许多学科的经典话题，包括社会选择、博弈论、政治科学和公共选择。这个问题不仅作为概率论和统计学中的一个基本问题很重要，而且还因为它在许多其他重要问题中的关键作用，例如投票的优柔寡断、战略投票、投票隐私、投票权、投票率等。尽管有大量文献并且普遍认为关系是罕见的，但人们对大型选举中关系的罕见程度知之甚少，除了在 iid 统一投票分配下的一些简单的位置评分规则，即公正文化（IC ) 的社会选择。特别是，在 Marchant [Mar01] 在 2001 年明确提出 IC 下 k-way 关系的可能性作为一个开放问题之后，几乎没有取得什么进展。我们在一个模型下对广泛广泛研究的投票规则的开放问题给出了渐近答案比包括 IC 在内的 iid 模型更加通用和现实——平滑社会选择框架 [Xia20]，其灵感来自著名的平滑复杂性分析 [ST09]。我们证明了在一大类投票规则下关系的平滑可能性的二分定理。我们的主要技术工具是对泊松多项式变量在多面体中的平滑似然的改进二分表征，这通过探索 V 表示与多面体矩阵表示之间的相互作用得到了证明，并且可能具有独立的兴趣。我们在一个模型下对广泛广泛研究的投票规则的开放问题给出了渐近答案，该模型比包括 IC 在内的 iid 模型更加普遍和现实——平滑的社会选择框架 [Xia20]，其灵感来自于著名的平滑复杂度分析 [ST09]。我们证明了在一大类投票规则下关系的平滑可能性的二分定理。我们的主要技术工具是对泊松多项式变量在多面体中的平滑似然的改进二分表征，这通过探索 V 表示和多面体矩阵表示之间的相互作用得到了证明，并且可能具有独立的兴趣。我们在一个模型下对广泛广泛研究的投票规则的开放问题给出了渐近答案，该模型比包括 IC 在内的 iid 模型更加普遍和现实——平滑的社会选择框架 [Xia20]，其灵感来自于著名的平滑复杂度分析 [ST09]。我们证明了在一大类投票规则下关系的平滑可能性的二分定理。我们的主要技术工具是对泊松多项式变量在多面体中的平滑似然的改进二分表征，这通过探索 V 表示和多面体矩阵表示之间的相互作用得到了证明，并且可能具有独立的兴趣。其灵感来自著名的平滑复杂度分析 [ST09]。我们证明了在一大类投票规则下关系的平滑可能性的二分定理。我们的主要技术工具是对泊松多项式变量在多面体中的平滑似然的改进二分表征，这通过探索 V 表示和多面体矩阵表示之间的相互作用得到了证明，并且可能具有独立的兴趣。其灵感来自著名的平滑复杂度分析 [ST09]。我们证明了在一大类投票规则下关系的平滑可能性的二分定理。我们的主要技术工具是对泊松多项式变量在多面体中的平滑似然的改进二分表征，这通过探索 V 表示和多面体矩阵表示之间的相互作用得到了证明，并且可能具有独立的兴趣。