What is the least surface area of a symmetric body $B$ whose $\mathbb{Z}^n$ translations tile $\mathbb{R}^n$? Since any such body must have volume $1$, the isoperimetric inequality implies that its surface area must be at least $\Omega(\sqrt{n})$. Remarkably, Kindler et al.\ showed that for general bodies $B$ this is tight, i.e.\ that there is a tiling body of $\mathbb{R}^n$ whose surface area is $O(\sqrt{n})$. In theoretical computer science, the tiling problem is intimately to the study of parallel repetition theorems (which are an important component in PCPs), and more specifically in the question of whether a "strong version" of the parallel repetition theorem holds. Raz showed, using the odd cycle game, that strong parallel repetition fails in general, and subsequently these ideas were used in order to construct non-trivial tilings of $\mathbb{R}^n$. In this paper, motivated by the study of a symmetric parallel repetition, we consider the symmetric variant of the tiling problem in $\mathbb{R}^n$. We show that any symmetric body that tiles $\mathbb{R}^n$ must have surface area at least $\Omega(n/\sqrt{\log n})$, and that this bound is tight, i.e.\ that there is a symmetric tiling body of $\mathbb{R}^n$ with surface area $O(n/\sqrt{\log n})$. We also give matching bounds for the value of the symmetric parallel repetition of Raz's odd cycle game. Our result suggests that while strong parallel repetition fails in general, there may be important special cases where it still applies.

中文翻译：

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使用对称体的欧几里得空间的最佳平铺

$\mathbb{Z}^n$ 平移平铺 $\mathbb{R}^n$ 的对称体 $B$ 的最小表面积是多少？由于任何这样的物体必须有体积 $1$，等周不等式意味着它的表面积必须至少为 $\Omega(\sqrt{n})$。值得注意的是，Kindler et al.\ 表明对于一般物体 $B$ 这是紧的，即存在 $\mathbb{R}^n$ 的平铺体，其表面积为 $O(\sqrt{n}) $. 在理论计算机科学中，平铺问题与并行重复定理（PCP 中的一个重要组成部分）的研究密切相关，更具体地说，与并行重复定理的“强版本”是否成立的问题密切相关。Raz 使用奇数循环游戏表明，强平行重复通常会失败，随后这些想法被用来构建 $\mathbb{R}^n$ 的非平凡平铺。在本文中，受对称并行重复研究的启发，我们考虑了 $\mathbb{R}^n$ 中平铺问题的对称变体。我们证明任何平铺 $\mathbb{R}^n$ 的对称体必须具有至少 $\Omega(n/\sqrt{\log n})$ 的表面积，并且这个界限是紧的，即\有是 $\mathbb{R}^n$ 的对称平铺体，表面积为 $O(n/\sqrt{\log n})$。我们还给出了 Raz 奇数循环博弈的对称平行重复值的匹配界限。我们的结果表明，虽然强平行重复通常会失败，但可能有一些重要的特殊情况仍然适用。我们考虑 $\mathbb{R}^n$ 中平铺问题的对称变体。我们证明任何平铺 $\mathbb{R}^n$ 的对称体必须具有至少 $\Omega(n/\sqrt{\log n})$ 的表面积，并且这个界限是紧的，即\有是 $\mathbb{R}^n$ 的对称平铺体，表面积为 $O(n/\sqrt{\log n})$。我们还给出了 Raz 奇数循环博弈的对称平行重复值的匹配界限。我们的结果表明，虽然强平行重复通常会失败，但可能有一些重要的特殊情况仍然适用。我们考虑 $\mathbb{R}^n$ 中平铺问题的对称变体。我们证明任何平铺 $\mathbb{R}^n$ 的对称体必须具有至少 $\Omega(n/\sqrt{\log n})$ 的表面积，并且这个界限是紧的，即\有是 $\mathbb{R}^n$ 的对称平铺体，表面积为 $O(n/\sqrt{\log n})$。我们还给出了 Raz 奇数循环博弈的对称平行重复值的匹配界限。我们的结果表明，虽然强平行重复通常会失败，但可能有一些重要的特殊情况仍然适用。\ 有一个 $\mathbb{R}^n$ 的对称平铺体，表面积为 $O(n/\sqrt{\log n})$。我们还给出了 Raz 奇数循环博弈的对称平行重复值的匹配界限。我们的结果表明，虽然强平行重复通常会失败，但可能有一些重要的特殊情况仍然适用。\ 有一个 $\mathbb{R}^n$ 的对称平铺体，表面积为 $O(n/\sqrt{\log n})$。我们还给出了 Raz 奇数循环博弈的对称平行重复值的匹配界限。我们的结果表明，虽然强平行重复通常会失败，但可能有一些重要的特殊情况仍然适用。