We consider the adjoint representation of a Hopf algebra $H$ focusing on the locally finite part, $H_{{\textrm ad\,fin}}$, defined as the sum of all finite-dimensional subrepresentations. For virtually cocommutative $H$ (i.e., $H$ is finitely generated as module over a cocommutative Hopf subalgebra), we show that $H_{{\textrm ad\,fin}}$ is a Hopf subalgebra of $H$. This is a consequence of the fact, proved here, that locally finite parts yield a tensor functor on the module category of any virtually pointed Hopf algebra. For general Hopf algebras, $H_{{\textrm ad\,fin}}$ is shown to be a left coideal subalgebra. We also prove a version of Dietzmann's Lemma from group theory for Hopf algebras.

中文翻译：

---

关于hopf代数的伴随表示

我们考虑 Hopf 代数的伴随表示$H$专注于局部有限部分，$H_{{\textrm ad\,fin}}$，定义为所有有限维子表示的总和。对于虚拟共交换$H$（IE，$H$被有限地生成为协交换 Hopf 子代数上的模），我们证明$H_{{\textrm ad\,fin}}$是一个 Hopf 子代数$H$. 这是这里证明的事实的结果，即局部有限部分在任何虚拟指向的 Hopf 代数的模范畴上产生一个张量函子。对于一般 Hopf 代数，$H_{{\textrm ad\,fin}}$被证明是一个左共理想子代数。我们还从群论中为 Hopf 代数证明了 Dietzmann 引理的一个版本。