Let $K_n+I$ denote the complete graph of even order with a 1‐factor duplicated. The spouse‐loving variant of the Oberwolfach Problem, denoted $O{P}^{+}\left(m_1,m_2,\text{…},m_t\right)$, asks for the existence of a 2‐factorization of $K_n+I$ in which each 2‐factor consists of cycles of length $m_i$, for all $i,1\le i\le t$, such that $n=m_1+m_2+\text{⋯}+m_t$. If $m_1=m_2=\text{⋯}=m_t=m$, then the problem is denoted by $O{P}^{+}\left(n;m\right)$. In this paper, we construct a solution to $O{P}^{+}\left(4m;m\right)$ when $m\ge 5$ is an odd integer. This completes the proof of the conjecture posed by Bolohan et al. In addition, we find a solution to $O{P}^{+}\left(3,m\right)$ when $m\ge 5$ is an odd integer.

中文翻译：

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具有均匀周期长度的Oberwolfach问题的热爱配偶变体的杰出案例的解决方案

让 ${ķ}_{ñ}+\mathrm{一世}$表示重复1因子的偶数阶完整图。Oberwolfach问题的热爱配偶的变体，表示为$ØP^{+}（{米}_{\mathrm{1个}}，{米}_2，\text{…}，{米}_{Ť}）$，要求存在2因式分解 ${ķ}_{ñ}+\mathrm{一世}$ 其中每个2因子由长度循环组成 ${米}_{\mathrm{一世}}$， 对所有人 $\mathrm{一世}，\mathrm{1个}\le \mathrm{一世}\le Ť$，这样 $ñ={米}_{\mathrm{1个}}+{米}_2+\text{⋯}+{米}_{Ť}$。如果${米}_{\mathrm{1个}}={米}_2=\text{⋯}={米}_{Ť}=米$，则问题表示为 $ØP^{+}（ñ;米）$。在本文中，我们构建了一个解决方案$ØP^{+}（4米;米）$ 什么时候 $米\ge 5$是一个奇数整数。这就完成了由Bolohan等人提出的猜想的证明。此外，我们找到了解决方案$ØP^{+}（3，米）$ 什么时候 $米\ge 5$ 是一个奇数整数。