The chromatic polynomial of a graph $G$, denoted $P(G,m)$, is equal to the number of proper $m$-colorings of $G$. The list color function of graph $G$, denoted $P_{\ell}(G,m)$, is a list analogue of the chromatic polynomial that has been studied since 1992, primarily through comparisons with the corresponding chromatic polynomial. DP-coloring (also called correspondence coloring) is a generalization of list coloring recently introduced by Dvořak and Postle. In this paper, we introduce a DP-coloring analogue of the chromatic polynomial called the DP color function, denoted $P_{DP}(G,m)$, and ask several fundamental open questions about it, making progress on some of them. Motivated by known results related to the list color function, we show that while the DP color function behaves similar to the list color function for some graphs, there are also some surprising differences. For example, Wang, Qian, and Yan recently showed that if $G$ is a connected graph with $l$ edges, then $P_{\ell}(G,m)=P(G,m)$ whenever $m > \frac{l-1}{\ln(1+ \sqrt{2})}$, but we will show that for any $g \geq 3$ there exists a graph, $G$, with girth $g$ such that $P_{DP}(G,m) < P(G,m)$ when $m$ is sufficiently large. We also study the asymptotics of $P(G,m) - P_{DP}(G,m)$ for a fixed graph $G$. We develop techniques to compute $P_{DP}(G,m)$ exactly and apply them to certain classes of graphs such as chordal graphs, unicyclic graphs, and cycles with a chord. Finally, we make progress towards showing that for any graph $G$, there is a $p$ such that $P_{DP}(G \vee K_p, m) = P(G \vee K_p , m)$ for large enough $m$.

中文翻译：

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关于图的色多项式和计数 DP 着色

图 $G$ 的色多项式，表示为 $P(G,m)$，等于 $G$ 的正确 $m$-colorings 的数量。图 $G$ 的列表颜色函数，表示为 $P_{\ell}(G,m)$，是自 1992 年以来研究的色多项式的列表模拟，主要是通过与相应的色多项式进行比较。DP 着色（也称为对应着色）是最近由 Dvořak 和 Postle 引入的列表着色的概括。在本文中，我们介绍了称为 DP 颜色函数的色度多项式的 DP 着色模拟，表示为 $P_{DP}(G,m)$，并提出了几个关于它的基本开放性问题，并在其中一些问题上取得了进展。受与列表颜色函数相关的已知结果的启发，我们表明虽然 DP 颜色函数的行为类似于某些图形的列表颜色函数，还有一些令人惊讶的差异。例如，Wang、Qian 和 Yan 最近表明，如果 $G$ 是具有 $l$ 条边的连通图，则 $P_{\ell}(G,m)=P(G,m)$ 每当 $m > \frac{l-1}{\ln(1+ \sqrt{2})}$，但我们将证明对于任何 $g \geq 3$ 都存在一个图 $G$，其周长为 $g$当 $m$ 足够大时，$P_{DP}(G,m) < P(G,m)$。我们还研究了固定图 $G$ 的 $P(G,m) - P_{DP}(G,m)$ 的渐近性。我们开发了精确计算 $P_{DP}(G,m)$ 的技术，并将它们应用于某些类别的图，例如弦图、单环图和带弦的循环。最后，我们取得了进展，证明对于任何图 $G$，有一个 $p$ 使得 $P_{DP}(G \vee K_p, m) = P(G \vee K_p, m)$ 足够大百万美元。和 Yan 最近表明，如果 $G$ 是一个具有 $l$ 边的连通图，那么 $P_{\ell}(G,m)=P(G,m)$ 每当 $m > \frac{l-1} {\ln(1+ \sqrt{2})}$，但我们将证明对于任何 $g \geq 3$ 都存在一个图 $G$，其周长 $g$ 使得 $P_{DP}( G,m) < P(G,m)$ 当 $m$ 足够大时。我们还研究了固定图 $G$ 的 $P(G,m) - P_{DP}(G,m)$ 的渐近性。我们开发了精确计算 $P_{DP}(G,m)$ 的技术，并将它们应用于某些类别的图，例如弦图、单环图和带弦的循环。最后，我们取得了进展，证明对于任何图 $G$，有一个 $p$ 使得 $P_{DP}(G \vee K_p, m) = P(G \vee K_p, m)$ 足够大百万美元。和 Yan 最近表明，如果 $G$ 是一个具有 $l$ 边的连通图，那么 $P_{\ell}(G,m)=P(G,m)$ 每当 $m > \frac{l-1} {\ln(1+ \sqrt{2})}$，但我们将证明对于任何 $g \geq 3$ 都存在一个图 $G$，其周长 $g$ 使得 $P_{DP}( G,m) < P(G,m)$ 当 $m$ 足够大时。我们还研究了固定图 $G$ 的 $P(G,m) - P_{DP}(G,m)$ 的渐近性。我们开发了精确计算 $P_{DP}(G,m)$ 的技术，并将它们应用于某些类别的图，例如弦图、单环图和带弦的循环。最后，我们取得了进展，证明对于任何图 $G$，有一个 $p$ 使得 $P_{DP}(G \vee K_p, m) = P(G \vee K_p, m)$ 足够大百万美元。但是我们将证明对于任何 $g \geq 3$ 都存在一个图 $G$，其周长 $g$ 使得 $P_{DP}(G,m) < P(G,m)$ 当 $m $ 足够大。我们还研究了固定图 $G$ 的 $P(G,m) - P_{DP}(G,m)$ 的渐近性。我们开发了精确计算 $P_{DP}(G,m)$ 的技术，并将它们应用于某些类别的图，例如弦图、单环图和带弦的循环。最后，我们取得了进展，证明对于任何图 $G$，有一个 $p$ 使得 $P_{DP}(G \vee K_p, m) = P(G \vee K_p, m)$ 足够大百万美元。但是我们将证明对于任何 $g \geq 3$ 都存在一个图 $G$，其周长 $g$ 使得 $P_{DP}(G,m) < P(G,m)$ 当 $m $ 足够大。我们还研究了固定图 $G$ 的 $P(G,m) - P_{DP}(G,m)$ 的渐近性。我们开发了精确计算 $P_{DP}(G,m)$ 的技术，并将它们应用于某些类别的图，例如弦图、单环图和带弦的循环。最后，我们取得了进展，证明对于任何图 $G$，有一个 $p$ 使得 $P_{DP}(G \vee K_p, m) = P(G \vee K_p, m)$ 足够大百万美元。单环图和带弦的循环。最后，我们取得了进展，证明对于任何图 $G$，有一个 $p$ 使得 $P_{DP}(G \vee K_p, m) = P(G \vee K_p, m)$ 足够大百万美元。单环图和带弦的循环。最后，我们取得了进展，证明对于任何图 $G$，有一个 $p$ 使得 $P_{DP}(G \vee K_p, m) = P(G \vee K_p, m)$ 足够大百万美元。