We show that there is a dense set $\Upsilon\subseteq \mathbb{N}$ of group orders and a constant $c$ such that for every $n\in \Upsilon$ we can decide in time $O(n^2(\log n)^c)$ whether two $n\times n$ multiplication tables describe isomorphic groups of order $n$. This improves significantly over the general $n^{O(\log n)}$-time complexity and shows that group isomorphism can be tested efficiently for almost all group orders $n$. We also show that in time $O(n^2 (\log n)^2)$ it can be decided whether an $n\times n$ multiplication table describes a group; this improves over the known $O(n^3)$ complexity.

中文翻译：

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群同构对于大多数阶来说是接近线性的时间

我们证明有一个密集的集合 $\Upsilon\subseteq \mathbb{N}$ 和一个常数 $c$ 使得对于每个 $n\in \Upsilon$ 我们可以及时决定 $O(n^2 (\log n)^c)$ 两个$n\times n$ 乘法表是否描述$n$ 阶同构群。这比一般的 $n^{O(\log n)}$ 时间复杂度显着提高，并且表明可以对几乎所有组订单 $n$ 有效地测试组同构。我们还表明，在时间 $O(n^2 (\log n)^2)$ 中，可以决定 $n\times n$ 乘法表是否描述了一个群；这改进了已知的 $O(n^3)$ 复杂性。