Let $R$ be a real closed field. We prove that if $R$ is uncountable, then any separately Nash (respectively, arc‐Nash) function defined over $R$ is semialgebraic (respectively, continuous semialgebraic). To complete the picture, we provide an example showing that the assumption on $R$ to be uncountable cannot be dropped. Moreover, even if $R$ is uncountable but non‐Archimedean, then the shape of the domain of a separately Nash function matters for the conclusion. For $R=\mathbb{R}$, we prove that arc‐Nash functions coincide with arc‐analytic semialgebraic functions.

中文翻译：

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在实数封闭字段上分别具有Nash和arc-Nash函数

让 $\mathrm{[R}$成为一个真正的封闭领域。我们证明$\mathrm{[R}$ 是不可数的，则在其上定义的任何单独的Nash（分别是arc-Nash）函数 $\mathrm{[R}$是半代数的（分别是连续半代数的）。为了使图片更完整，我们提供了一个示例，该示例表明$\mathrm{[R}$不可数不能被丢弃。而且，即使$\mathrm{[R}$是不可数的但不是阿基米德的，则单独的Nash函数的域的形状对于结论很重要。为了$\mathrm{[R}=\mathbb{[R}$，我们证明arc-Nash函数与arc-analytic半代数函数一致。