We show that the signed $p$-Kostka numbers depend just on $p$-Kostka numbers and the multiplicities of projective indecomposable modules in certain signed Young permutation modules. We then examine the signed $p$-Kostka number $k_{(\alpha|\beta),(\lambda|p\mu)}$ in the case when $|\beta|=p|\mu|$. This allows us to explicitly describe the multiplicities of direct summands of a signed Young permutation module lying in the principal block of $F\mathfrak{S}_{mp}$ in terms of the $p$-Kostka numbers.

中文翻译：

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在有符号 p-Kostka 矩阵上

我们表明有符号的 $p$-Kostka 数仅取决于 $p$-Kostka 数和某些有符号 Young 置换模块中投影不可分解模块的多重性。然后我们在 $|\beta|=p|\mu|$ 的情况下检查有符号的 $p$-Kostka 数 $k_{(\alpha|\beta),(\lambda|p\mu)}$。这使我们能够根据 $p$-Kostka 数明确描述位于 $F\mathfrak{S}_{mp}$ 主块中的有符号 Young 置换模块的直接被加数的多重性。