We are concerned here with Sobolev-type spaces of vector-valued functions. For an open subset $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ and a Banach space $V$, we compare the classical Sobolev space $W^{1,p}(\Omega, V)$ with the so-called Sobolev-Reshetnyak space $R^{1,p}(\Omega, V)$. We see that, in general, $W^{1,p}(\Omega, V)$ is a closed subspace of $R^{1,p}(\Omega, V)$. As a main result, we obtain that $W^{1,p}(\Omega, V)=R^{1,p}(\Omega, V)$ if, and only if, the Banach space $V$ has the Radon-Nikodým property

中文翻译：

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向量值函数的 Sobolev 空间

我们在这里关注向量值函数的 Sobolev 型空间。对于开子集 $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ 和 Banach 空间 $V$，我们将经典的 Sobolev 空间 $W^{1,p}(\Omega, V)$ 与 so-称为 Sobolev-Reshetnyak 空间 $R^{1,p}(\Omega, V)$。我们看到，一般情况下，$W^{1,p}(\Omega, V)$ 是 $R^{1,p}(\Omega, V)$ 的闭子空间。作为主要结果，我们得到 $W^{1,p}(\Omega, V)=R^{1,p}(\Omega, V)$ 当且仅当 Banach 空间 $V$ 具有Radon-Nikodým 属性