For any [Formula: see text], let the infinite series [Formula: see text] be the Engel expansion of [Formula: see text]. Suppose [Formula: see text] is a strictly increasing function with [Formula: see text] and let [Formula: see text], [Formula: see text] and [Formula: see text] be defined as the sets of numbers [Formula: see text] for which the limit, upper limit and lower limit of [Formula: see text] is equal to [Formula: see text]. In this paper, we qualify the size of the set [Formula: see text], [Formula: see text] and [Formula: see text] in the sense of Hausdorff dimension and show that these three dimensions can be different.

中文翻译：

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关于 ENGEL 扩展和 HAUSDORFF 尺寸中的一些特殊设置

对于任意[公式：见文]，令无穷级数[公式：见文]为[公式：见文]的恩格尔展开式。假设[公式：见正文]是与[公式：见正文]的严格递增函数，令[公式：见正文]、[公式：见正文]和[公式：见正文]定义为数集[公式：见正文] : 见文]，其中[公式：见文]的上限、上限和下限等于[公式：见文]。在本文中，我们在 Hausdorff 维度的意义上限定了集合 [Formula: see text]、[Formula: see text] 和 [Formula: see text] 的大小，并表明这三个维度可以不同。