We compute the Lusternik-Schnirelmann category (LS-cat) and the higher topological complexity ($TC_s$, $s\geq2$) of the "no-$k$-equal" configuration space Conf$_k(\mathbb{R},n)$. This yields (with $k=3$) the LS-cat and the higher topological complexity of Khovanov's group PP$_n$ of pure planar braids on $n$ strands, which is an $\mathbb{R}$-analogue of Artin's classical pure braid group on $n$ strands. Our methods can be used to describe optimal motion planners for PP$_n$ provided $n$ is small.

中文翻译：

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具有受控碰撞和纯平面编织的线性运动规划

我们计算了 Lusternik-Schnirelmann 类别 (LS-cat) 和“no-$k$-equal”配置空间 Conf$_k(\mathbb{R} ,n)$。这产生了（$k=3$）LS-cat 和 Khovanov 群 PP$_n$ 的更高拓扑复杂性，它是 $n$ 股线上的纯平面编织物，它是 Artin 的 $\mathbb{R}$ 类似物$n$ 股上的经典纯编织组。我们的方法可用于描述 PP$_n$ 的最佳运动规划器，前提是 $n$ 很小。