An irreducible integrable connection $(E,\nabla)$ on a smooth projective complex variety $X$ is called rigid if it gives rise to an isolated point of the corresponding moduli space $\mathcal{M}_{dR}(X)$. According to Simpson's motivicity conjecture, irreducible rigid flat connections are of geometric origin, that is, arise as subquotients of a Gaus-Manin connection of a family of smooth projective varieties defined on an open dense subvariety of $X$. In this article we study mod $p$ reductions of irreducible rigid connections and establish results which confirm Simpson's prediction. In particular, for large $p$, we prove that $p$-curvatures of mod $p$ reductions of irreducible rigid flat connections are nilpotent, and building on this result, we construct an $F$-isocrystalline realization for {irreducible} rigid flat connections. More precisely, we prove that there exist smooth models $X_R$ and $(E_R,\nabla_R)$ of $X$ and $(E,\nabla)$, over a finite type ring $R$, such that for every Witt ring $W(k)$ of a finite field $k$ and every homomorphism $R \to W(k)$, the $p$-adic completion of the base change $(\widehat{E}_{W(k)},\widehat{\nabla}_{W(k)})$ on $\widehat{X}_{W(k)}$ represents an $F$-isocrystal. Subsequently we show that {irreducible} rigid flat connections with vanishing $p$-curvatures are unitary. This allows us to prove new cases of the Grothendieck--Katz $p$-curvature conjecture. We also prove the existence of a complete companion correspondence for $F$-isocrystals stemming from irreducible cohomologically rigid connections.

中文翻译：

---

刚性连接和 $F$-同晶

光滑射影复变体 $X$ 上的不可约可积连接 $(E,\nabla)$ 称为刚性连接，如果它产生相应模空间 $\mathcal{M}_{dR}(X) 的孤立点$. 根据辛普森的动机猜想，不可约的刚性平面连接是几何起源的，也就是说，作为在 $X$ 的开密集子变体上定义的平滑射影变体族的 Gaus-Manin 连接的子商出现。在本文中，我们研究了不可约刚性连接的 mod $p$ 减少，并建立了证实 Simpson 预测的结果。特别是，对于大的 $p$，我们证明了不可约刚性平面连接的 mod $p$ 归约的 $p$-curvatures 是幂零的，并且基于这个结果，我们构建了 {irreducible} 的 $F$-isocrystal 实现刚性平面连接。更准确地说，我们证明在有限类型环 $R$ 上存在 $X$ 和 $(E,\nabla)$ 的平滑模型 $X_R$ 和 $(E_R,\nabla_R)$，使得对于每个 Witt有限域 $k$ 的环 $W(k)$ 和每个同态 $R \to W(k)$，$p$-adic 完成基变化 $(\widehat{E}_{W(k) )},\widehat{\nabla}_{W(k)})$ 上的 $\widehat{X}_{W(k)}$ 代表 $F$-isocrystal。随后，我们证明了具有消失 $p$-curvatures 的 {irreducible} 刚性平面连接是单一的。这使我们能够证明 Grothendieck--Katz $p$-curvature 猜想的新情况。我们还证明了源自不可约的上同调刚性连接的 $F$-同晶的完整伴随对应的存在。使得对于有限域 $k$ 的每一个 Witt 环 $W(k)$ 和每一个同态 $R \to W(k)$，基的 $p$-adic 完成变化 $(\widehat{E} _{W(k)},\widehat{\nabla}_{W(k)})$ 上的 $\widehat{X}_{W(k)}$ 代表 $F$-isocrystal。随后，我们证明了具有消失 $p$-curvatures 的 {irreducible} 刚性平面连接是单一的。这使我们能够证明 Grothendieck--Katz $p$-curvature 猜想的新情况。我们还证明了源自不可约的上同调刚性连接的 $F$-同晶的完整伴随对应的存在。使得对于有限域 $k$ 的每一个 Witt 环 $W(k)$ 和每一个同态 $R \to W(k)$，基的 $p$-adic 完成变化 $(\widehat{E} _{W(k)},\widehat{\nabla}_{W(k)})$ 上的 $\widehat{X}_{W(k)}$ 代表 $F$-isocrystal。随后，我们证明了具有消失 $p$-curvatures 的 {irreducible} 刚性平面连接是单一的。这使我们能够证明 Grothendieck--Katz $p$-curvature 猜想的新情况。我们还证明了源自不可约的上同调刚性连接的 $F$-同晶的完整伴随对应的存在。随后，我们证明了具有消失 $p$-curvatures 的 {irreducible} 刚性平面连接是单一的。这使我们能够证明 Grothendieck--Katz $p$-curvature 猜想的新情况。我们还证明了源自不可约的上同调刚性连接的 $F$-同晶的完整伴随对应的存在。随后，我们证明了具有消失 $p$-curvatures 的 {irreducible} 刚性平面连接是单一的。这使我们能够证明 Grothendieck--Katz $p$-curvature 猜想的新情况。我们还证明了源自不可约的上同调刚性连接的 $F$-同晶的完整伴随对应的存在。