We study homogeneous Einstein metrics on indecomposable non-Kahlerian C-spaces, i.e. even-dimensional torus bundles $M=G/H$ with $\mathsf{rank} G>\mathsf{rank} H$ over flag manifolds $F=G/K$ of a compact simple Lie group $G$. Based on the theory of painted Dynkin diagrams we present the classification of such spaces. Next we focus on the family \[ M_{\ell, m, n}:=\mathsf{SU}(\ell+m+n)/\mathsf{SU}(\ell)\times\mathsf{SU}(m)\times\mathsf{SU}(n)\,,\quad \ell, m, n\in\mathbb{Z}_{+} \] and examine several of its geometric properties. We show that invariant metrics on $M_{\ell, m, n}$ are not diagonal and beyond certain exceptions their parametrization depends on six real parameters. By using such an invariant Riemannian metric, we compute the diagonal and the non-diagonal part of the Ricci tensor and present explicitly the algebraic system of the homogeneous Einstein equation. For general positive integers $\ell, m, n$, by applying mapping degree theory we provide the existence of at least one $\mathsf{SU}(\ell+m+n)$-invariant Einstein metric on $M_{\ell, m, n}$. For $\ell=m$ we show the existence of two $\mathsf{SU}(2m+n)$ invariant Einstein metrics on $M_{m, m, n}$, and for $\ell=m=n$ we obtain four $\mathsf{SU}(3n)$-invariant Einstein metrics on $M_{n, n, n}$. We also examine the isometry problem for these metrics, while for a plethora of cases induced by fixed $\ell, m, n$, we provide the numerical form of all non-isometric invariant Einstein metrics.

中文翻译：

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非 Kähler C 空间上的齐次爱因斯坦度量

我们研究了不可分解的非 Kahlerian C 空间上的齐次爱因斯坦度量，即偶维环面束 $M=G/H$ 与 $\mathsf{rank} G>\mathsf{rank} H$ 在标志流形上 $F=G紧致单李群 $G$ 的 /K$。基于绘制的 Dynkin 图的理论，我们提出了此类空间的分类。接下来我们关注家族 \[ M_{\ell, m, n}:=\mathsf{SU}(\ell+m+n)/\mathsf{SU}(\ell)\times\mathsf{SU}( m)\times\mathsf{SU}(n)\,,\quad \ell, m, n\in\mathbb{Z}_{+} \] 并检查它的几个几何属性。我们表明 $M_{\ell, m, n}$ 上的不变度量不是对角线，除了某些例外，它们的参数化取决于六个实参数。通过使用这样一个不变的黎曼度量，我们计算 Ricci 张量的对角线和非对角线部分，并明确提出齐次爱因斯坦方程的代数系统。对于一般正整数 $\ell, m, n$，通过应用映射度理论，我们提供了至少一个 $\mathsf{SU}(\ell+m+n)$-invariant Einstein metric on $M_{\嗯，m，n}$。对于 $\ell=m$，我们证明了 $M_{m, m, n}$ 和 $\ell=m=n$ 上存在两个 $\mathsf{SU}(2m+n)$ 不变的爱因斯坦度量我们在 $M_{n, n, n}$ 上获得了四个 $\mathsf{SU}(3n)$-invariant Einstein 度量。我们还检查了这些度量的等距问题，而对于由固定 $\ell, m, n$ 引起的大量情况，我们提供了所有非等距不变爱因斯坦度量的数值形式。通过应用映射度理论，我们提供了在 $M_{\ell, m, n}$ 上至少存在一个 $\mathsf{SU}(\ell+m+n)$-invariant Einstein 度量。对于 $\ell=m$，我们证明了 $M_{m, m, n}$ 和 $\ell=m=n$ 上存在两个 $\mathsf{SU}(2m+n)$ 不变的爱因斯坦度量我们在 $M_{n, n, n}$ 上获得四个 $\mathsf{SU}(3n)$-invariant Einstein 度量。我们还检查了这些度量的等距问题，而对于由固定 $\ell, m, n$ 引起的大量情况，我们提供了所有非等距不变爱因斯坦度量的数值形式。通过应用映射度理论，我们提供了在 $M_{\ell, m, n}$ 上至少存在一个 $\mathsf{SU}(\ell+m+n)$-invariant Einstein 度量。对于 $\ell=m$，我们证明了 $M_{m, m, n}$ 和 $\ell=m=n$ 上存在两个 $\mathsf{SU}(2m+n)$ 不变的爱因斯坦度量我们在 $M_{n, n, n}$ 上获得了四个 $\mathsf{SU}(3n)$-invariant Einstein 度量。我们还检查了这些度量的等距问题，而对于由固定 $\ell, m, n$ 引起的大量情况，我们提供了所有非等距不变爱因斯坦度量的数值形式。