Modeling the spontaneous evolution of morphology in natural systems and its preservation by proportionate growth remains a major scientific challenge. Yet, it is conceivable that if the basic mechanisms of growth and the coupled kinetic laws that orchestrate their function are accounted for, a minimal theoretical model may exhibit similar growth behaviors. The ubiquity of surface growth, a mechanism by which material is added or removed on the boundaries of the body, has motivated the development of theoretical models, which can capture the diffusion-coupled kinetics that govern it. However, due to their complexity, application of these models has been limited to simplified geometries. In this paper, we tackle these complexities by developing a finite element framework to study the diffusion-coupled growth and morphogenesis of finite bodies formed on uniform and flat substrates. We find that in this simplified growth setting, the evolving body exhibits a sequence of distinct growth stages that are reminiscent of natural systems, and appear spontaneously without any externally imposed regulation or coordination. The computational framework developed in this work can serve as the basis for future models that are able to account for growth in arbitrary geometrical settings, and can shed light on the basic physical laws that orchestrate growth and morphogenesis in the natural world.

模拟自然系统中形态的自发演化并通过按比例增长对其进行保存仍然是一项重大的科学挑战。但是，可以想到的是，如果考虑了增长的基本机制以及协调其功能的耦合动力学定律，则最小的理论模型可能会表现出相似的增长行为。表面生长的普遍存在是一种机制，通过这种机制，可以在人体边界上添加或去除材料。这种机制激发了理论模型的发展，该模型可以捕获支配它的扩散耦合动力学。然而，由于它们的复杂性，这些模型的应用仅限于简化的几何形状。在本文中，我们通过开发有限元框架来研究均匀和平坦基底上形成的有限体的扩散耦合生长和形态发生，从而解决了这些复杂性。我们发现，在这种简化的生长环境中，进化体表现出一系列不同的生长阶段，使人联想到自然系统，并且在没有任何外部施加的调节或协调的情况下自发出现。在这项工作中开发的计算框架可以用作将来的模型的基础，这些模型可以说明任意几何设置中的增长，并且可以阐明在自然界中协调增长和形态发生的基本物理定律。进化中的身体表现出一系列不同的生长阶段，使人联想到自然系统，并且自发出现，没有任何外部施加的调节或协调。在这项工作中开发的计算框架可以用作将来的模型的基础，这些模型可以说明任意几何设置中的增长，并且可以阐明在自然界中协调增长和形态发生的基本物理定律。进化中的身体表现出一系列不同的生长阶段，使人联想到自然系统，并且自发出现，没有任何外部施加的调节或协调。在这项工作中开发的计算框架可以作为将来的模型的基础，这些模型可以说明任意几何设置中的增长，并且可以阐明协调自然世界中生长和形态发生的基本物理定律。