Rautenbach and Volkmann (Appl Math Lett 20:98–102, 2007), gave an upper bound for the k-tuple domination number of a graph. Rad (J Combin Math Comb Comput, 2019, in press) presented an improvement of the above bound using the Caro-Wei Theorem. In this paper, using the well-known Brooks’ Theorem for vertex coloring and vertex covers, we improve the above bounds on the k-tuple domination number under some certain conditions. In the special case \(k=1\), we improve the upper bounds for the domination number (Arnautov in Prikl Mat Program 11:3–8, 1974; Payan in Cahiers Centre Études Recherche Opér 17:307–317, 1975) and the Roman domination number (Cockayne et al. in Discrete Math 278:11–22, 2004). We also improve bounds given by Hansberg and Volkmann (Discrete Appl Math 157:1634–1639, 2009) for Roman k-domination number, and Rad and Rahbani (Discuss Math Graph Theory 39:41–53, 2019) for double Roman domination number.

Rautenbach和Volkmann（Appl Math Lett 20：98–102，2007）给出了图的k元组控制数的上限。Rad（J Combin Math Comb Comput，2019年出版）使用Caro-Wei定理对上述界限进行了改进。在本文中，使用著名的布鲁克斯定理进行顶点着色和顶点覆盖，我们在某些条件下改善了k元组控制数的上述界限。在特殊情况下\（k = 1 \），我们提高了支配数的上限（1974年，Prikl Mat计划中的Arnautov； 1974年； Cahiers CenterÉtudesRechercheOpér：17：307-317，Payan； 1975年）和罗马支配数（Cockayne等。离散数学278：11-22，2004年）。我们还改善了Hansberg和Volkmann（Discrete Appl Math 157：1634-1639，2009 ）对于罗马k支配数以及Rad和Rahbani（Discuss Math Graph Theory 39：41–53，2019）对于双罗马支配数的界限。 。