We present a general method for computing the abelian complexity $\rho^{\rm ab}_{\bf s} (n)$ of an automatic sequence $\bf s$ in the case where (a) $\rho^{\rm ab}_{\bf s} (n)$ is bounded by a constant and (b) the Parikh vectors of the length-$n$ prefixes of $\bf s$ form a synchronized sequence. We illustrate the idea in detail, using the free software Walnut to compute the abelian complexity of the Tribonacci word ${\bf TR} = 0102010\cdots$, the fixed point of the morphism $0 \rightarrow 01$, $1 \rightarrow 02$, $2 \rightarrow 0$. Previously, Richomme, Saari, and Zamboni showed that the abelian complexity of this word lies in $\{ 3,4,5,6,7 \}$, and Turek gave a Tribonacci automaton computing it. We are able to "automatically" rederive these results, and more, using the method presented here.

中文翻译：

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阿贝尔复杂度和同步

我们提出了一种计算自动序列 $\bf s$ 的阿贝尔复杂度 $\rho^{\rm ab}_{\bf s} (n)$ 的通用方法，其中 (a) $\rho^{ \rm ab}_{\bf s} (n)$ 受一个常数的限制，并且 (b) $\bf s$ 的长度为 $n$ 前缀的 Parikh 向量形成一个同步序列。我们详细说明这个想法，使用免费软件 Walnut 计算 Tribonacci 词的阿贝尔复杂度 ${\bf TR} = 0102010\cdots$，态射的不动点 $0 \rightarrow 01$, $1 \rightarrow 02$ , $2 \rightarrow 0$。之前 Richomme、Saari 和 Zamboni 证明了这个词的阿贝尔复杂性在于 $\{ 3,4,5,6,7 \}$，Turek 给出了一个 Tribonacci 自动机来计算它。我们能够使用此处介绍的方法“自动”重新得出这些结果，甚至更多。