A $k$-cycle with a pendant edge attached to each vertex is called a $k$-sun. The existence problem for $k$-sun decompositions of $K_v$, with $k$ odd, has been solved only when $k=3$ or $5$. By adapting a method used by Hoffmann, Lindner and Rodger to reduce the spectrum problem for odd cycle systems of the complete graph, we show that if there is a $k$-sun system of $K_v$ ($k$ odd) whenever $v$ lies in the range $2k< v < 6k$ and satisfies the obvious necessary conditions, then such a system exists for every admissible $v\geq 6k$.

中文翻译：

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奇数太阳系的光谱问题的简化和素数情况

一个 $k$-cycle 的每个顶点都有一个下垂的边被称为 $k$-sun。$K_v$ 的$k$-sun 分解的存在问题，其中$k$ 为奇数，只有在$k=3$ 或$5$ 时才解决。通过采用 Hoffmann、Lindner 和 Rodger 使用的方法来减少全图奇数圈系统的谱问题，我们证明如果存在 $K_v$ ($k$odd) 的 $k$-sun 系统，每当 $ v$ 位于 $2k< v < 6k$ 的范围内并且满足明显的必要条件，那么对于每一个可接纳的 $v\geq 6k$ 都存在这样的系统。