The Barat-Thomassen conjecture, recently proved in [Bensmail et al.: A proof of the Barat-Thomassen conjecture. J. Combin. Theory Ser. B, 124:39-55, 2017.], asserts that for every tree T, there is a constant $c_T$ such that every $c_T$-edge connected graph G with number of edges (size) divisible by the size of T admits an edge partition into copies of T (a T-decomposition). In this paper, we investigate in which case the connectivity requirement can be dropped to a minimum degree condition. For instance, it was shown in [Bensmail et al.: Edge-partitioning a graph into paths: beyond the Barat-Thomassen conjecture. arXiv:1507.08208] that when T is a path with k edges, there is a constant $d_k$ such that every 24-edge connected graph G with size divisible by k and minimum degree $d_k$ has a T-decomposition. We show in this paper that when F is a coprime forest (the sizes of its components being a coprime set of integers), any graph G with sufficiently large minimum degree has an F-decomposition provided that the size of F divides the size of G (no connectivity is required). A natural conjecture asked in [Bensmail et al.: Edge-partitioning a graph into paths: beyond the Barat-Thomassen conjecture. arXiv:1507.08208] asserts that for a fixed tree T, any graph G of size divisible by the size of T with sufficiently high minimum degree has a T-decomposition, provided that G is sufficiently highly connected in terms of the maximal degree of T. The case of maximum degree 2 is answered by paths. We provide a counterexample to this conjecture in the case of maximum degree 3.

中文翻译：

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边分解图为互质森林

Barat-Thomassen 猜想，最近在 [Bensmail 等人：Barat-Thomassen 猜想的证明。J. 结合。理论系列 B, 124:39-55, 2017.]，断言对于每棵树 T，都有一个常数 $c_T$ 使得每个 $c_T$-边连接图 G 的边数（大小）可以被 T 的大小整除允许边分区为 T 的副本（T 分解）。在本文中，我们研究了在哪种情况下可以将连接要求降至最低程度的条件。例如，它显示在 [Bensmail 等人：将图边划分为路径：超越 Barat-Thomassen 猜想。arXiv:1507.08208] 当 T 是一条有 k 条边的路径时，存在一个常数 $d_k$，使得每个 24 边连接图 G 的大小可以被 k 整除，最小度数 $d_k$ 有一个 T 分解。我们在本文中表明，当 F 是互素森林（其分量的大小是一组互素整数）时，只要 F 的大小除以 G 的大小，任何具有足够大最小度的图 G 都有 F 分解（不需要连接）。[Bensmail et al.: Edge-partitioning a graph into paths: Beyond the Barat-Thomassen conjecture.] 中提出的一个自然猜想。arXiv:1507.08208] 断言，对于固定的树 T，任何大小可被 T 的大小整除且具有足够高的最小度数的图 G 都具有 T 分解，前提是 G 在 T 的最大度数方面具有足够高的连接性。最大程度为 2 的情况由路径回答。我们在最大次数为 3 的情况下为该猜想提供了一个反例。只要 F 的大小除以 G 的大小（不需要连通性），任何最小度足够大的图 G 都有 F 分解。[Bensmail et al.: Edge-partitioning a graph into paths: Beyond the Barat-Thomassen conjecture.] 中提出的一个自然猜想。arXiv:1507.08208] 断言，对于固定的树 T，任何大小可被 T 的大小整除且具有足够高的最小度数的图 G 都具有 T 分解，前提是 G 在 T 的最大度数方面具有足够高的连接性。最大程度为 2 的情况由路径回答。我们在最大次数为 3 的情况下为该猜想提供了一个反例。只要 F 的大小除以 G 的大小（不需要连通性），任何最小度足够大的图 G 都有 F 分解。[Bensmail et al.: Edge-partitioning a graph into paths: Beyond the Barat-Thomassen conjecture.] 中提出的一个自然猜想。arXiv:1507.08208] 断言，对于固定的树 T，任何大小可被 T 的大小整除且具有足够高的最小度数的图 G 都具有 T 分解，前提是 G 在 T 的最大度数方面具有足够高的连接性。最大程度为 2 的情况由路径回答。我们在最大次数为 3 的情况下为该猜想提供了一个反例。将图边划分为路径：超越 Barat-Thomassen 猜想。arXiv:1507.08208] 断言，对于固定的树 T，任何大小可被 T 的大小整除且具有足够高的最小度数的图 G 都具有 T 分解，前提是 G 在 T 的最大度数方面具有足够高的连接性。最大程度为 2 的情况由路径回答。我们在最大次数为 3 的情况下为该猜想提供了一个反例。将图边划分为路径：超越 Barat-Thomassen 猜想。arXiv:1507.08208] 断言，对于固定的树 T，任何大小可被 T 的大小整除且具有足够高的最小度数的图 G 都具有 T 分解，前提是 G 在 T 的最大度数方面具有足够高的连接性。最大程度为 2 的情况由路径回答。我们在最大次数为 3 的情况下为该猜想提供了一个反例。