We consider stochastic impulse control problems when the impulses cost functions depend on $ t $ and $ x $. We use the approximation scheme and viscosity solutions approach to show that the value function is a unique viscosity solution for the associated Hamilton-Jacobi-Bellman equation (HJB) partial differential equation (PDE) of stochastic impulse control problems.

中文翻译：

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状态和时间相关的成本函数的随机脉冲控制问题

当脉冲成本函数取决于$ t $和$ x $时，我们考虑随机脉冲控制问题。我们使用逼近方案和粘度解方法来表明，对于随机脉冲控制问题的相关汉密尔顿-雅各比-贝尔曼方程（HJB）偏微分方程（PDE），值函数是唯一的粘度解。