In this short note, we prove that the degree-three dilation of the square lattice $\mathbb{Z}^2$ is $1+\sqrt{2}$. This disproves a conjecture of Dumitrescu and Ghosh. We give a computer-assisted proof of a local-global property for the uncountable set of geometric graphs achieving the optimal dilation.

中文翻译：

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关于正方形格子的最优度三扳手的注记

在这个简短的笔记中，我们证明了方格 $\mathbb{Z}^2$ 的三次膨胀是 $1+\sqrt{2}$。这推翻了 Dumitrescu 和 Ghosh 的猜想。我们为实现最佳膨胀的不可数几何图集提供了局部全局属性的计算机辅助证明。