We present a universal, in Vogel’s sense, expression for the quantum dimension of the Cartan product of arbitrary powers of the adjoint and X2 representations of simple Lie algebras. The same formula mysteriously yields quantum dimensions of some other representations of the same Lie algebra for permuted universal parameters, provided linear resolvability of singularities is applied. We list these representations for the exceptional algebras and their stable versions for the classical algebras (when the rank of the classical algebra is sufficiently large with regard to the powers of representations). Universal formulas may have singularities at the points in Vogel’s plane, corresponding to some simple Lie algebras. We prove that our formula is linearly resolvable at all those singular points, i.e., yields finite answers when restricted either on the classical or the exceptional lines, and make a conjecture that these answers coincide with (quantum) dimensions of some irreducible representations. In a number of cases, particularly, in the case of so(8) algebra, which belongs both to the orthogonal and the exceptional lines, it is confirmed that both resolutions yield relevant answers. We note that an irreducible representation may have several universal formulas for its (quantum) dimension and discuss the impact of this phenomenon to the method presented by Cohen and de Man [C. R.Acad. Sci., Ser. 1 322(5), 427–432 (1996)] for derivation of universal formulas.

中文翻译：

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关于 (ad)n(X2)k 系列的通用量子维度

在 Vogel 的意义上，我们提出了一个普遍的表达式，用于表示简单李代数的伴随和 X2 表示的任意幂的 Cartan 乘积的量子维数。如果应用了奇点的线性可分辨性，相同的公式神秘地产生了相同李代数的一些其他表示的量子维度，用于置换通用参数。我们列出了特殊代数的这些表示及其经典代数的稳定版本（当经典代数的等级相对于表示的幂足够大时）。通用公式可能在 Vogel 平面上的点处具有奇点，对应于一些简单的李代数。我们证明我们的公式在所有这些奇异点上都是线性可解的，即，当限制在经典或异常线上时，会产生有限的答案，并推测这些答案与某些不可约表示的（量子）维度一致。在许多情况下，特别是在属于正交线和异常线的 so(8) 代数的情况下，可以确认两种解决方案都产生了相关的答案。我们注意到不可约表示可能有几个通用公式来表示它的（量子）维数，并讨论了这种现象对 Cohen 和 de Man [CRAcad. 科学，Ser。1 322(5), 427–432 (1996)] 用于推导通用公式。在 so(8) 代数的情况下，既属于正交线又属于异常线，可以确认这两种分辨率都产生了相关的答案。我们注意到不可约表示可能有几个通用公式来表示它的（量子）维数，并讨论了这种现象对 Cohen 和 de Man [CRAcad. 科学，Ser。1 322(5), 427–432 (1996)] 用于推导通用公式。在 so(8) 代数的情况下，既属于正交线又属于异常线，可以确认这两种分辨率都产生了相关的答案。我们注意到不可约表示可能有几个通用公式来表示它的（量子）维数，并讨论了这种现象对 Cohen 和 de Man [CRAcad. 科学，Ser。1 322(5), 427–432 (1996)] 用于推导通用公式。