We identify many new solvable subcases of the general dynamical system characterized by two autonomous first-order ordinary differential equations with purely quadratic right-hand sides; the solvable character of these dynamical systems amounting to the possibility to obtain the solution of their initial value problem via algebraic operations. Equivalently---by considering the analytic continuation of these systems to complex time---their algebraically solvable character corresponds to the fact that their general solution is either singlevalued or features only a finite number of algebraic branch points as functions of complex time (the independent variable). Thus our results provide a major enlargement of the class of solvable systems beyond those with singlevalued general solution identified by Garnier about 60 years ago. An interesting property of several of these new dynamical systems is the elementary character of their general solution, identifiable as the roots of a polynomial with explicitly obtainable time-dependent coefficients. We also mention that, via a well-known time-dependent change of (dependent and independent) variables featuring the imaginary parameter $% \mathbf{i} \omega $ (with $\omega $ an arbitrary strictly positive real number), autonomous variants can be explicitly exhibited of each of the algebraically solvable models we identify: variants which all feature the remarkable property to be isochronous, i.e. their generic solution is periodic with a period that is a fixed integer multiple of the basic period $T=2\pi/\omega$.

中文翻译：

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具有纯二次右手边的两个自治一阶常微分方程的新代数可解系统

我们确定了一般动力系统的许多新的可解子情况，其特征是两个具有纯二次右侧的自主一阶常微分方程；这些动态系统的可解特性相当于通过代数运算获得其初值问题的解的可能性。等效地---通过考虑这些系统对复时间的解析延拓---它们的代数可解特征对应于这样一个事实，即它们的一般解要么是单值的，要么仅具有有限数量的代数分支点作为复时间的函数（自变量）。因此，我们的结果提供了可解系统类别的主要扩展，超出了大约 60 年前由 Garnier 确定的单值通用解决方案。其中几个新动力系统的一个有趣特性是它们的一般解的基本特征，可识别为具有明确可获得的时间相关系数的多项式的根。我们还提到，通过众所周知的随时间变化的（因变量和自变量）具有虚参数 $% \mathbf{i} \omega $（其中 $\omega $ 是任意严格正实数），自主我们确定的每个代数可解模型都可以明确展示变体：变体都具有等时性的显着特性，即它们的通用解是周期性的，周期是基本周期的固定整数倍 $T=2\ π/\omega$。可识别为具有明确可获得的时间相关系数的多项式的根。我们还提到，通过众所周知的随时间变化的（因变量和自变量）具有虚参数 $% \mathbf{i} \omega $（其中 $\omega $ 是任意严格正实数），自主我们确定的每个代数可解模型都可以明确展示变体：变体都具有等时性的显着特性，即它们的通用解是周期性的，周期是基本周期的固定整数倍 $T=2\ π/\omega$。可识别为具有明确可获得的时间相关系数的多项式的根。我们还提到，通过众所周知的随时间变化的（因变量和自变量）具有虚参数 $% \mathbf{i} \omega $（其中 $\omega $ 是任意严格正实数），自主我们确定的每个代数可解模型都可以明确展示变体：变体都具有等时性的显着特性，即它们的通用解是周期性的，周期是基本周期的固定整数倍 $T=2\ π/\omega$。