In this paper we investigate the $L^p$ boundedness of the lacunary maximal function $ M_{\Ha}^{lac} $ associated to the spherical means $ A_r f$ taken over Koranyi spheres on the Heisenberg group. Closely following an approach used by M. Lacey in the Euclidean case, we obtain sparse bounds for these maximal functions leading to new unweighted and weighted estimates. The key ingredients in the proof are the $L^p$ improving property of the operator $A_rf$ and a continuity property of the difference $A_rf-\tau_y A_rf$, where $\tau_yf(x)=f(xy^{-1})$ is the right translation operator.

中文翻译：

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关于海森堡群的空缺球面极大函数

在本文中，我们研究了与球面均值 A_r f$ 相关的空位极大函数 $M_{\Ha}^{lac} $ 的 $L^p$ 有界性，该函数取自海森堡群的 Koranyi 球体。密切遵循 M. Lacey 在欧几里得情况下使用的方法，我们获得了这些极大函数的稀疏边界，从而导致新的未加权和加权估计。证明中的关键成分是算子$A_rf$的$L^p$改进性质和差值$A_rf-\tau_y A_rf$的连续性性质，其中$\tau_yf(x)=f(xy^{- 1})$ 是正确的翻译运算符。