We prove $L^p$ boundedness results, $p > 2$, for local maximal averaging operators over a smooth 2D hypersurface $S$ with either a $C^1$ density function or a density function with a singularity that grows as $|(x,y)|^{-\beta}$ for $\beta < 2$. Suppose one is in coordinates such that the surface is localized near some $(x_0,y_0,z_0)$ at which $(0,0,1)$ is normal to the surface, and suppose the surface is represented as the graph of $z_0 + s(x - x_0, y - y_0)$ near $(x_0,y_0)$, with $s(0,0) = 0$. It is shown that as long as the Taylor series of the Hessian determinant of $s(x,y)$ at $(0,0)$ is not identically zero, the maximal averaging operator is bounded on $L^p$ for $p > \max(2,1/g)$, where $g$ is an index based on the growth rate of the distribution function $s(x,y)$ near the origin. Standard examples show that the exponent $1/g$ is best possible whenever the tangent plane to $S$ at $(x_0,y_0,z_0)$ does not contain the origin. This theorem improves on the main result of [IKeM], using different methods. We use closely related methods prove $L^p$ to $L^p_{\alpha}$ Sobolev estimates for Radon transform operators with the same density functions, with no excluded cases. In the $g < 1/2$ case, there is an interval $I$ containing $2$ for which $L^p$ to $L^p_{\alpha}$ boundedness is proven for $\alpha < g$ when $p \in I$, and for such $p$ one can never gain more than $g$ derivatives.

中文翻译：

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2D 超曲面上的平滑和奇异最大平均值和相关的 Radon 变换

我们证明了 $L^p$ 有界结果，$p > 2$，对于光滑二维超曲面 $S$ 上的局部最大平均算子，具有 $C^1$ 密度函数或具有随 $C^1$ 增长的奇点的密度函数|(x,y)|^{-\beta}$ 用于 $\beta < 2$。假设一个坐标使得表面位于 $(x_0,y_0,z_0)$ 附近，其中 $(0,0,1)$ 与表面垂直，并假设该表面表示为 $(x_0,y_0,z_0)$ z_0 + s(x - x_0, y - y_0)$ 接近 $(x_0,y_0)$，其中 $s(0,0) = 0$。结果表明，只要$(0,0)$处$s(x,y)$的Hessian行列式的泰勒级数不完全为零，则最大平均算子在$L^p$上有界p > \max(2,1/g)$，其中$g$是基于分布函数$s(x,y)$在原点附近的增长率的指数。标准示例表明，只要 $(x_0,y_0,z_0)$ 处 $S$ 的切平面不包含原点，则指数 $1/g$ 是最好的。该定理使用不同的方法改进了 [IKeM] 的主要结果。我们使用密切相关的方法证明了 $L^p$ 到 $L^p_{\alpha}$ Sobolev 对具有相同密度函数的 Radon 变换算子的估计，没有排除的情况。在 $g < 1/2$ 的情况下，有一个包含 $2$ 的区间 $I$，其中 $L^p$ 到 $L^p_{\alpha}$ 的有界性证明了 $\alpha < g$ 当 $ p \in I$，对于这样的 $p$，一个人永远无法获得超过 $g$ 的衍生品。我们使用密切相关的方法证明了 $L^p$ 到 $L^p_{\alpha}$ Sobolev 对具有相同密度函数的 Radon 变换算子的估计，没有排除的情况。在 $g < 1/2$ 的情况下，有一个包含 $2$ 的区间 $I$，其中 $L^p$ 到 $L^p_{\alpha}$ 的有界性证明了 $\alpha < g$ 当 $ p \in I$，对于这样的 $p$，一个人永远无法获得超过 $g$ 的衍生品。我们使用密切相关的方法证明了 $L^p$ 到 $L^p_{\alpha}$ Sobolev 对具有相同密度函数的 Radon 变换算子的估计，没有排除的情况。在 $g < 1/2$ 的情况下，有一个包含 $2$ 的区间 $I$，其中 $L^p$ 到 $L^p_{\alpha}$ 的有界性证明了 $\alpha < g$ 当 $ p \in I$，对于这样的 $p$，一个人永远无法获得超过 $g$ 的衍生品。