We consider a general class of symmetric or Hermitian random band matrices $H=(h_{xy})_{x,y \in \llbracket 1,N\rrbracket^d}$ in any dimension $d\ge 1$, where the entries are independent, centered random variables with variances $s_{xy}=\mathbb E|h_{xy}|^2$. We assume that $s_{xy}$ vanishes if $|x-y|$ exceeds the band width $W$, and we are interested in the mesoscopic scale with $1\ll W\ll N$. Define the {\it{generalized resolvent}} of $H$ as $G(H,Z):=(H - Z)^{-1}$, where $Z$ is a deterministic diagonal matrix with entries $Z_{xx}\in \mathbb C_+$ for all $x$. Then we establish a precise high-probability bound on certain averages of polynomials of the resolvent entries. As an application of this fluctuation averaging result, we give a self-contained proof for the delocalization of random band matrices in dimensions $d\ge 2$. More precisely, for any fixed $d\ge 2$, we prove that the bulk eigenvectors of $H$ are delocalized in certain averaged sense if $N\le W^{1+\frac{d}{2}}$. This improves the corresponding results in \cite{HeMa2018} under the assumption $N\ll W^{1+\frac{d}{d+1}}$, and in \cite{ErdKno2013,ErdKno2011} under the assumption $N\ll W^{1+\frac{d}{6}}$. For 1D random band matrices, our fluctuation averaging result was used in \cite{PartII,PartI} to prove the delocalization conjecture and bulk universality for random band matrices with $N\ll W^{4/3}$.

中文翻译：

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离域阶段的随机带矩阵，III：平均波动

我们考虑在任何维度 $d\ge 1$ 中的一般对称或 Hermitian 随机带矩阵 $H=(h_{xy})_{x,y \in \llbracket 1,N\rrbracket^d}$，其中条目是独立的中心随机变量，方差为 $s_{xy}=\mathbb E|h_{xy}|^2$。我们假设 $s_{xy}$ 在 $|xy|$ 超过带宽 $W$ 时消失，并且我们对 $1\ll W\ll N$ 的介观尺度感兴趣。将 $H$ 的 {\it{generalized resolvent}} 定义为 $G(H,Z):=(H - Z)^{-1}$，其中 $Z$ 是具有条目 $Z_{ 的确定性对角矩阵xx}\in \mathbb C_+$ 对于所有 $x$。然后我们在解析项的多项式的某些平均值上建立精确的高概率界限。作为这种波动平均结果的应用，我们给出了一个独立的证明，用于维度 $d\ge 2$ 的随机带矩阵的离域。更确切地说，对于任何固定的 $d\ge 2$，如果 $N\le W^{1+\frac{d}{2}}$，我们证明 $H$ 的主体特征向量在某种平均意义上是离域的。这改进了假设 $N\ll W^{1+\frac{d}{d+1}}$ 下的 \cite{HeMa2018} 和假设 $N 下的 \cite{ErdKno2013,ErdKno2011} 中的相应结果\ll W^{1+\frac{d}{6}}$。对于一维随机带矩阵，我们在 \cite{PartII,PartI} 中使用我们的波动平均结果来证明具有 $N\ll W^{4/3}$ 的随机带矩阵的离域猜想和体普遍性。