Let X (resp. Y) be a real Banach space such that the set of all \(w^*\)-exposed points of the closed unit ball \(B(X^*)\) (resp. \(B(Y^*)\)) is \(w^*\)-dense in the unit sphere \(S(X^*)\) (resp. \(S(Y^*)\)), (cc(X), H) (resp. (cc(Y), H)) be the metric space of all nonempty compact convex subsets of X (resp. Y) endowed with the Hausdorff distance H, and \(f:(cc(X),H)\rightarrow (cc(Y),H)\) be a standard bijective \(\varepsilon \)-isometry. Then there is a standard surjective isometry \(g:cc(X)\rightarrow cc(Y)\) satisfying that \((1)\, g|_{X}\) (the restriction of g on \(\{\{u\}, u\in X\}\)) is a surjective linear isometry from \(\{\{u\},u\in X\}\) onto \(\{\{v\},v\in Y\}\) and \(g(A)=\cup _{a\in A}g|_{X}(\{a\})\) for any \(A\in cc(X)\); \((2)\, H(f(A),g(A))\le 3\varepsilon \) for any \(A\in cc(X)\).

令X（分别为Y）是一个实际的Banach空间，使得闭合单位球\（B（X ^ *）\）的所有\（w ^ * \）暴露点的集合（分别为\（B（ Y ^ *）\））是\（w ^ * \）-单位球体内的密度\（S（X ^ *）\）（分别是\（S（Y ^ *）\）），（cc（X），  ħ）（RESP（CC（Ý），  ħ））是所有非空紧凸子集的度量空间X（分别ÿ赋予Hausdorff距离）ħ，和\（F：（CC（X） ，H）\ rightarrow（cc（Y），H）\）是标准双射\（\ varepsilon \）等轴测图。然后有一个标准的射影等距\（g：cc（X）\ rightarrow cc（Y）\）满足\（（1）\，g | _ {X} \）（g在\ {\ { \ {u \}，u \ in X \} \））是从\（\ {\ {u \}，u \ in X \} \）到\（\ {\ {v \}， v \ in Y \} \）和\（g（A）= \ cup _ {a \ in A} g | _ {X}（\ {a \}）\）对于任何\（A \ in cc（X ）\） ; \（（2）\，H（f（A），g（A））\ le 3 \ varepsilon \）对于任何\（A \ cc（X）\）。