Bruin--Najman and Ozman--Siksek have recently determined the quadratic points on all modular curves $X_0(N)$ of genus 2, 3, 4, and 5 whose Mordell--Weil group has rank 0. In this paper we do the same for the $X_0(N)$ of genus 2, 3, 4, and 5 and positive Mordell--Weil rank. The values of $N$ are 37, 43, 53, 61, 57, 65, 67 and 73. The main tool used is a relative symmetric Chabauty method, in combination with the Mordell--Weil sieve. Often the quadratic points are not finite, as the degree 2 map $X_0(N)\to X_0(N)^+$ can be a source of infinitely many such points. In such cases, we describe this map and the rational points on $X_0(N)^+$, and we specify the exceptional quadratic points on $X_0(N)$ not coming from $X_0(N)^+$. In particular we determine the $j$-invariants of the corresponding elliptic curves and whether they are $\mathbb{Q}$-curves or have complex multiplication.

中文翻译：

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具有无限 Mordell-Weil 群的模曲线上的二次点

Bruin--Najman 和 Ozman--Siksek 最近确定了属 2、3、4 和 5 的所有模曲线 $X_0(N)$ 上的二次点，其 Mordell--Weil 群的秩为 0。在本文中我们做属 2、3、4 和 5 的 $X_0(N)$ 和正 Mordell--Weil 秩相同。$N$ 的值为 37、43、53、61、57、65、67 和 73。使用的主要工具是相对对称 Chabauty 方法，结合 Mordell--Weil 筛。通常二次点不是有限的，因为 2 次映射 $X_0(N)\to X_0(N)^+$ 可以是无限多个这样的点的来源。在这种情况下，我们描述这张地图和 $X_0(N)^+$ 上的有理点，并且我们指定 $X_0(N)$ 上的异常二次点不是来自 $X_0(N)^+$。